DEVOIR n°3
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Mercredi 9 novembre 2005
 T°S

Devoir de Mathématiques (2h)
(Calculatrice autorisée)

Exercice 1 ( 4 points)

Soit f la fonction définie sur R\{-1 ; 1} par :

Déterminer les limite de f aux bornes de son ensemble de définition.

 

Exercice 2 ( 7 points)

Soit f la fonction définie par :

1°) Déterminer l’ensemble de définition de f.

2°) Déterminer les limites de f en –¥ et en +¥ .

Peut-on en déduire l’existence d’une ou plusieurs asymptotes à la

courbe (Cf) représentative de f ?

3°) a) Démontrer que la droite D  : y = 2x – 3 est asymptote oblique à la courbe (Cf) en +¥ .

b) Etudier les positions relatives de la droite D et de la courbe (Cf) sur

]-¥  ; 0] et sur [6 ; +¥ [.

4°) a) Etudier la dérivabilité de la fonction f en 0 et en 6.

b) Quelles en sont les conséquences graphiques ?

 

Exercice 3 ( 9 points)

Soit f l’application de C\{i} dans C définie par :

Partie A – Quelques valeurs.

1°) Calculer f(1) et f(2i).

2°) Résoudre f(z) = 2.

A tout point M du plan complexe d’affixe z ¹ i on associe le point M’ d’affixe z’ tels que : z’ = f(z)

On note : (E1) l’ensemble des points M tels que : | z’ | = 1.

(E2) l’ensemble des points M tels que : z’ soit réel.

(E3) l’ensemble des points M tels que : z’ soit imaginaire pur.

Partie B – Méthode algébrique.

Soient x, y, x’, y’ les réels tels que z = x + iy et z’ = x’ + iy’.

1°) a) Exprimer | z + 3 | et | zi | en fonction de x et de y.

b) En déduire une équation cartésienne et la nature de l’ensemble (E1).

2°) a) Exprimer x’ et y’ en fonction de x et de y.

b) En déduire une équation cartésienne des ensembles (E2) et (E3).

c) En déduire la nature et les éléments caractéristiques de (E2) et (E3).

Partie C – Méthode géométrique.

Soient A et B les points d’affixes respectives zA = -3 et zB = i.

1°) Interpréter géométriquement : | z’ | en fonction de A, B et M.

2°) Interpréter géométriquement : arg( z’) en fonction de A, B et M.

3°) Retrouver par une méthode géométrique la nature et les éléments caractéristiques de (E1), (E2) et (E3) obtenus dans la partie B.