DEVOIR n°2
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Mardi 4 octobre 2005
 Term S

DEVOIR de MATHEMATIQUES
(Calculatrice autorisée)

Exercice 1 (6 points)

1°) Soit g la fonction définie sur R par : g(x) = 4x3 – 3x – 8.

  1. Etudier le sens de variation de g sur R.
  2. Démontrer que l’équation g(x) = 0 admet dans R une unique solution que l’on note a .
    Déterminer un encadrement de a d’amplitude 10-2.
  3. Déterminer le signe de g sur R.

2°) Soit f la fonction définie sur [1 ; +¥ [ par : .

  1. Démontrer que le signe de f’(x) est le même que le signe de g(x) sur [1 ; +¥ [.
  2. En déduire le sens de variation de f sur [1 ; +¥ [.
  3. En utilisant la définition de a , démontrer que : f(a ) = a .

En déduire un encadrement de f(a ).

 

Exercice 2 (4 points)

Soit f la fonction définie sur R par :

1°) f est-elle continue en x = 1 ?

2°) f est-elle dérivable en x = 1 ?

3°) Quelles conséquences graphiques peut-on tirer des résultats précédents ? Tracer la courbe représentative de f dans un repère orthonormal. (Aucune étude de variations n’est exigée)

 

Exercice 3 (3,5 points)

A tout nombre complexe z on associe le nombre complexe égal à

1°) Calculer f(3), f(i) et f(1 – 4i).

2°) Exprimer à l’aide de z et de .

3°) En déduire que z’ est réel pour tout z complexe.

 

Exercice 4 (3,5 points)

Soit (E) l’équation complexe : .

1°) Démontrer que z = x + iy avec xÎ R et yÎ R est solution de (E) si et seulement si :

2°) En déduire la résolution de l’équation (E) dans C.

 

Exercice 5 (3 points)

Résoudre dans R, puis dans ]-p  ; p ], l’équation : tan 3x = .