DEVOIR n°1
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Mercredi 14 septembre 2005
 T°S

DEVOIR de MATHEMATIQUES (2h)
(Calculatrice non autorisée)

 

I/ Formules et valeurs remarquables. (2,5 points)

Rappeler les trois formules liant cos 2x à sin x et cos x et en déduire les valeurs exactes de :

et de

 

II/ Equations et inéquations. (8 points)

1°) Résoudre dans R puis dans ]-p ; p ] les équations suivantes :

  1. sin 2x = cos 3x.
  2. cos x + tan x = – tan x.
  3. sin 2x + cos 2x = 1.

2°) Résoudre dans]-p ; p ] les inéquations suivantes :

  1. cos x ³ .
  2. sin2 2x £

 

III/ Etude de fonction. (9,5 points)

Soit f la fonction définie sur R\{2} par :

1°) Etudier la fonction f (limites aux bornes de l’ensemble de définition, sens de variation et tableau de variation complet).

2°) Déterminer les réels a, b, c tels que pour tout xÎ R\{2} on ait :

3°) En déduire que la droite (D) d’équation y = x + 3 est asymptote à la courbe Cf représentative de f et préciser la position de Cf par rapport à (D).

Préciser l’autre droite asymptote à Cf.

4°) Déterminer les coordonnées du point W intersection des deux asymptotes et démontrer que W est un centre de symétrie pour la courbe Cf.

5°) Déterminer l’intersection de la courbe Cf avec les axes du repère et une équation des tangentes en chacun de ces points.

6°) Déterminer les points de la courbe Cf en lesquels la tangente à la courbe Cf est parallèle à la droite (D ) d’équation : y = –3x.

7°) Tracer la courbe Cf dans un repère orthonormal (O ;,) en faisant apparaître tous les renseignements précédents. (unité graphique : 1 cm)