Bac Blanc 2
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Lundi 24 avril 2006
 Term S

Bac Blanc de Mathématiques (4h)
(Calculatrice autorisée)

 

Exercice 1 (5 points)

Partie A – Etude d’une fonction f.

On appelle f la fonction définie sur l’intervalle I = ]– ; +¥ [ par :

f(x) = ln (1 + 2x).

1°) Justifier que f est strictement croissante sur l’intervalle I.

2°) Déterminer les limites de f(x) aux bornes de I.

3°) On considère la fonction g définie sur l’intervalle I par :

g(x) = f(x) – x.

  1. Etudier les variations de g sur I.
  2. Justifier que l’équation g(x) = 0 admet deux solutions : 0 et une autre, notée b , appartenant à l’intervalle [1 ; 2].
  3. En déduire le signe de g(x), pour x appartenant à l’intervalle I.

4°) Justifier que, pour tout réel x appartenant à l’intervalle ]0 ; b [, f(x) appartient aussi à ]0 ; b [.

Partie B – Etude d’une suite récurrente.

On appelle (un)n ³ 0 la suite définie par un + 1 = f(un) et u0 = 1.

1°) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, un appartient à ]0 ; b [.

2°) Démontrer par récurrence que la suite (un)n ³ 0 est croissante.

3°) Justifier que la suite (un)n ³ 0 est convergente.

4°) Déterminer la limite de la suite (un)n ³ 0

Exercice 2 (5 points)

Une entreprise A est spécialisée dans la fabrication en série d’un article. Un contrôle de qualité a montré que chaque article produit par l’entreprise A pouvait présenter deux types de défaut : un défaut de soudure avec une probabilité égale à 0,03 et un défaut sur un composant électronique avec une probabilité égale à 0,02. Le contrôle a montré aussi que les deux défauts étaient indépendants. Un article est dit défectueux s’il présente au moins l’un des deux défauts.

1°) Montrer que la probabilité qu’un article fabriqué par l’entreprise A soit défectueux est égale à 0,0494.

2°) Une grande surface reçoit 800 articles de l’entreprise A. Soit X la variable aléatoire qui à cet ensemble de 800 articles associe le nombre d’articles défectueux.

  1. Définir la loi de X.
  2. Calculer l’espérance mathématique de X. Quel est le sens de ce nombre ?

3°)

  1. Un petit commerçant passe une commande de 25 articles à l’entreprise A. Calculer, à 10-3 près, la probabilité qu’il y ait plus de 2 articles défectueux dans sa commande.
  2. Il veut que, sur sa commande, la probabilité d’avoir au moins un article défectueux reste inférieure à 50%. Déterminer la valeur maximale du nombre n d’articles qu’il peut commander.

4°) La variable aléatoire, qui à tout article fabriqué par l’entreprise associe sa durée de vie en jours, suit une loi exponentielle de paramètre 0,0007, c’est-à-dire de densité de probabilité la fonction f définie sur [0 ; +¥ [ par : f(x) = 0,0007 e-0,0007x.

Calculer la probabilité, à 10-3 près, qu’un tel article ait une durée de vie comprise entre 700 et 1000 jours.

 

Exercice 3 (5 points) (pour les élèves ayant choisi la spécialité Mathématiques uniquement)

On se place dans le plan rapporté à un repère orthonormal direct (O ;).

1°) On considère la transformation f qui, à tout point M d’affixe z, associe le point M’ d’affixe

  1. Exprimer en fonction de z l’affixe de (f o f)(M).
  2. Montrer que f = R o S, où R est une rotation et S une symétrie axiale (on déterminera les éléments caractéristiques de ces transformations R et S).
  3. A est le point d’affixe

. Donner un argument de ce complexe.
Vérifier que R = S(OA) o S où S(OA) est la symétrie axiale d’axe (OA).
En déduire que f = S(OA).

2°) On considère la transformation g qui, à tout point M d’affixe z, associe le point M² d’affixe z² telle que :

.

  1. Déterminer une équation de l’ensemble des points invariants de g.
  2. Montrer que g = T o f où T est une translation (on précisera l’affixe du vecteur de la translation T).
  3. Vérifier que est orthogonal à la droite (OA).
    Vérifier que T = SD o S(OA) où SD est la symétrie axiale par rapport à la droite image de (OA) par la translation de vecteur
    En déduire que g = SD .
  4. Quelle est l’image par g du point B d’affixe  ?

En déduire une construction de D qui n’utilise pas son équation., et l’illustrer en complétant la figure précédente.

 

Exercice 3 (5 points) (pour les élèves ayant choisi la spécialité Sc. Physiques ou S.V.T. uniquement)

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ;) ayant comme unité graphique 2 cm.

1°) Résoudre dans C l’équation : z2 – 2z + 4 = 0.

On pose a = + i et b = i. Ecrire a et b sous forme exponentielle et placer les points A et B d’affixes respectives a et b.

2°) a) Soit r la rotation de centre O et d’angle .

Calculer l’affixe a’ du point A’ image du point A par r. Ecrire a’ sous forme algébrique et placer A’ sur la figure précédente.

b) Soit h l’homothétie de centre O et de rapport .

Calculer l’affixe b’ du point B’ image du point B par h. Placer B’ sur la figure précédente.

3°) Soit C le centre du cercle circonscrit au triangle OA’B’ et R le rayon de ce cercle. On désigne par c l’affixe du point C.

  1. Justifier les égalités suivantes :
     ;  ;
    .
  2. En déduire que puis que .
  3. En déduire l’affixe du point C et la valeur de R.

 

 

Exercice 4 (5 points)

Soit f la fonction définie sur [1 ; +¥ [ par : .

Pour tout a > 1, on considère l’intégrale : .

1°) Interpréter géométriquement le nombre I(a ).

2°) Démontrer que, pour tout xÎ [1 ; +¥ [, on a : e-x £ f(x) £ x e-x.

3°) En déduire que pour tout a > 1 :

e-a e-2a £ I(a ) £ (a + 1) e-a + (–1 – 2a ) e-2a .

4°) Rappel : " Une fonction g admet une limite égale à l en +¥  " signifie :

" Pour tout intervalle ouvert I contenant l, on peut trouver un réel A tel que : I contient toutes les valeurs de g(x) pour x supérieur ou égal à A. "

Démontrer le théorème suivant :

" Soient u, v et w des fonctions définies sur [1 ; +¥ [ telles que :

pour tout réel x ³ 1, u(x) £ v(x) £ w(x), et soit l un réel.

Si et alors . "

5°) En déduire la limite de I(a ) lorsque a tend vers +¥ .