DEVOIR n°6
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Mardi 10 janvier 2006
 1ère S1-2-3

DEVOIR de MATHEMATIQUES (3h)
(Calculatrice autorisée)

 

 

Exercice 1 (4 points)

Soit P le trinôme défini sur R par : P(x) = 3x2 + (a – 1)x + (a + 8) où a est un réel.

 

1°) Pour quelles(s) valeur(s) de a le trinôme admet-il une racine double ?

Calculer, dans chaque cas, cette racine.

2°) Existe-t-il une valeur de a pour laquelle le nombre 2 soit une racine de P ?

Si oui, calculer alors la deuxième racine de P.

3°) Existe-t-il une valeur de a pour laquelle le nombre -1 soit une racine de P ?

4°) Pour quelles valeurs de a le polynôme P n’a-t-il pas de racine?

 

 

Exercice 2 (4,5 points)

Le but de cet exercice est de résoudre dans R l’équation :
 cos x + sin x = -2.

 

1°) Première méthode.

  1. Résoudre le système :
  2. En posant X = cos x et Y = sin x, en déduire les solutions dans R de l’équation :
    cos x +

sin x = -2.

 

2°) Deuxième méthode.

  1. Démontrer que pour tout réel x, cos x + sin x = .
  2. Résoudre dans R l’équation : .
  3. En déduire les solutions dans R de l’équation : cos x +

sin x = -2.

 

 

 

Exercice 3 (5,5 points)

Soit ABC un triangle isocèle rectangle en A tel que : AB = 4.

On appelle I le milieu de [BC] et G le point défini par : .

Soit f la fonction qui à tout point M du plan associe le réel :

.

 

1°) Calculer f(A), f(B) et f(I).

2°) En utilisant la relation de Chasles, démontrer que pour tout point M du plan :

f(M) = f(G) + 4MG2. (on ne demande pas de calculer f(G) dans cette question)

3°) a) Calculer AG2.

  1. En utilisant le 1°) et le 2°), en que déduire f(G) = -18.

4°) Déterminer l’ensemble des points M du plan tels que f(M) = -16 et le représenter sur une figure.

 

 

Exercice 4 (6 points)

Soit f la fonction définie sur R\{-1} par :

et g la fonction définie sur R par : g(x) = x3 – 2x + 4

 

1°) Résoudre l’inéquation : f(x) ³ g(x) et en déduire la position de (Cf) par rapport à (Cg).

2°) Justifier que f et g sont dérivables sur leurs ensembles de définition et calculer leurs dérivées.

3°) Déterminer une équation des tangentes à (Cf) et (Cg) au point d’abscisse 1.

4°) a) Démontrer que la courbe (Cg) admet une unique tangente (T) parallèle à la droite d’équation y = -2x.

b) Démontrer que la courbe (Cf) admet deux tangentes parallèles à la droite d’équation y = -2x.