DEVOIR n°7
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Mercredi 9 février 2005
 T°S1-2

DEVOIR de Mathématiques (3h)
(Calculatrice autorisée)

 

 

Exercice 1 (Bac S – Antilles – Juin 2000) – 6 points

Un groupe de vingt-deux personnes décide d’aller au cinéma deux samedis de suite pour voir deux films A et B.

Le premier samedi, huit personnes vont voir le film A, et les autres vont voir le film B.

Le deuxième samedi, quatre personnes décident de revoir le film A, deux vont revoir le film B, et les autres vont voir le film qu’elles n’ont pas vu la semaine précédente.

Après la deuxième séance, on interroge au hasard une personne de ce groupe.

On considère les événements suivants :

bulletA1 : " la personne interrogée a vu le film A, le premier samedi " ;
bulletA2 : " la personne interrogée a vu le film A, le deuxième samedi " ;
bulletB1 : " la personne interrogée a vu le film B, le premier samedi " ;
bulletB2 : " la personne interrogée a vu le film B, le deuxième samedi ".

1°) a) Calculer les probabilités suivantes :

p(A1) et p(A2).

b) Calculer les probabilités de chacun des événements suivants :

(A2), (A2) et p(A1Ç A2).

c) Reproduire et compléter l’arbre pondéré suivant, en remplaçant chaque point d’interrogation par la probabilité correspondante. (aucune justification n’est demandée pour cette question).

d) Retrouver à partir de l’arbre pondéré que p(A2) = .

2°) Le prix du billet pour le film A est de 8 € et de 6 € pour le film B.

On appelle X la variable aléatoire égale au coût total, pour la personne interrogée, des deux séances de cinéma.

  1. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
  2. Déterminer l’espérance mathématique de la variable aléatoire X.

 

 

Exercice 24 points

On note (un) la suite définie pour tout entier naturel n par :

1°) Démontrer que la suite (un) est une suite géométrique. Préciser le premier terme et la raison.

2°) On note (vn) la suite définie pour tout entier naturel n par vn = ln(un).

Démontrer que la suite (vn) est une suite arithmétique. Préciser le premier terme et la raison.

3°) On note Sn = u0 + u1 + … + un et Tn = u0 ´ u1 ´´ un.

Déterminer les limites des suites (Sn) et (Tn).

 

 

 

Exercice 3 (d’après Bac S – Antilles – Septembre 2000) – 10 points

L’objet de ce problème est d’étudier, à l’aide d’une fonction auxiliaire, une fonction et de résoudre une équation différentielle dont elle est solution.

Partie A

bulletEtude d’une fonction auxiliaire.

Soit g la fonction définie sur R par : .

1°) Calculer g’(x) et montrer que ce nombre est strictement négatif pour tout x de R.

2°) Déterminer les limites de g en –¥ et en +¥ .

3°) Dresser le tableau de variation de g.

4°) Donner le signe de g(x).

Partie B

bulletEtude de la fonction principale.

Soit f la fonction définie sur R par : f(x) =e-2x ln(1 + 2ex).

On note (C) sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthogonal (unités graphiques : 4 cm sur l’axe des abscisses et 1 cm sur l’axe des ordonnées).

1°) Calculer f’(x) et montrer que, pour tout réel x, f’(x) = 2e-2x g(x).

2°) a) Montrer que .

b) Déterminer la limite de f en +¥ .

On pourra remarquer que si on pose X = 1 + 2ex, f(x) s’écrit .

3°) Dresser le tableau de variation de f.

4°) Tracer (C).

Partie C

bulletRésolution d’une équation différentielle.

On considère l’équation différentielle : (E) : y’ + 2y = 2.

1°) Vérifier que la fonction f étudiée dans la partie B est solution de (E).

2°) Montrer qu’une fonction j est solution de (E) si, et seulement si, jf est solution de l’équation différentielle : (E’) : y’ + 2y = 0.

3°) Résoudre (E’) et en déduire les solutions de (E).

4°) Déterminer la solution de (E) qui s’annule en ln 2.