DEVOIR n°5
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Jeudi 2 décembre 2004
 T°S1-2

DEVOIR de Mathématiques (2h)
(Calculatrice autorisée)

 

Exercice 1 (8 points)

Le plan étant rapporté à un repère orthonormal direct (O ;), on note A, B, C les points d’affixes respectives :

, zB = -4i, zC = -2 + 2i.

1°) Déterminer la forme algébrique de zA et la forme exponentielle de zB et de zC.

2°) Placer les points A, B et C dans le plan et compléter la figure au fur et à mesure.

3°) On note A’ l’image du point A par la rotation r de centre B et d’angle .

Déterminer l’affixe zA’ (sous forme algébrique ou exponentielle) du point A’.

4°) On note B’ l’image du point B par la translation t de vecteur (1 ; 3).

Déterminer l’affixe zB’ (sous forme algébrique ou exponentielle) du point B’.

5°) On note C’ l’image du point C par l’homothétie h de centre B et de rapport .

Déterminer l’affixe zC’ (sous forme algébrique ou exponentielle) du point C’.

6°) Déterminer, en justifiant, la nature du triangle A’B’C’ ?

7°) Soit f la transformation qui, à tout point M d’affixe z, associe le point M’ d’affixe z’ tel que : .

  1. Déterminer l’unique point fixe W de f.
  2. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de f.
  3. Déterminer l’écriture complexe de la transformation for et en déduire sa nature et ses éléments caractéristiques.

 

 

Exercice 2 (6 points)

On considère les nombres complexes définis par :

z0 = 2 et pour tout nÎ N, ,

et les suites numériques définies pour tout nÎ N, par :

un = arg( zn) [2p ] et vn = | zn|.

1°) a) Etablir une relation entre un+1 et un.

b) En déduire une expression de un en fonction de n.

2°) a) Etablir une relation entre vn+1 et vn.

b) En déduire une expression de vn en fonction de n.

3°) Le plan étant rapporté à un repère orthonormal direct (O ;), on note An le point d’affixe zn pour tout nÎ N.

  1. Faire une figure en plaçant les points A0, A1, A2, A3, A4 et A5. (unité 2 cm)
  2. Etablir que, pour tout nÎ N* : .
  3. Pour tout nÎ N*  on pose dn = An-1An, donner la nature de la suite (dn) et en déduire la longueur ln de la ligne brisée A0A1A2…An en fonction de n.
  4. Déterminer la limite de ln lorsque n tend vers +¥ .

 

 

Exercice 3 (6 points)

Soit F la fonction définie sur ]-¥  ; 1] par :

1°) a) Montrer que F est dérivable sur ]-¥  ; 1[ et étudier la dérivabilité de F en 1.

b) Calculer F’(x) pour tout x de ]-¥  ; 1[.

2°) Déterminer une primitive de la fonction g définie sur ]-¥  ; 1[ par :

.

3°) Soit h la fonction définie sur ]-¥  ; 1[ par :

  1. Exprimer h(x) en fonction de F’(x) et de g(x).
  2. En déduire une primitive H de h sur ]-¥  ; 1[.
  3. Déterminer la primitive H0 de h s’annulant en x = -3.