DEVOIR n°2
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Mercredi 22 septembre 2004
 Term S1-2

Devoir de Mathématiques (2h)
(Calculatrice autorisée)

 

I/ Equation trigonométrique. (2 points)

Résoudre sur ]-p  ; p ] : tan x = sin 2x.

 

 

II/ Etude d’une fonction. (10 points)

Soit la fonction f définie sur R par : f(x) = cos 4x + 2.sin 2x.

On note Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormal (unité graphique 2 cm.).

1°) Démontrer que f est de période p .

2°) Démontrer que la droite d’équation x = est un axe de symétrie de Cf.

3°) En déduire que l’on peut réduire l’intervalle d’étude à l’intervalle I =

et expliquer comment l’on obtient alors la courbe Cf complète.

4°) Vérifier que f’(x) = -4.cos 2x.(2.sin 2x - 1)

En déduire les variations de f sur l’intervalle I puis dresser son tableau de variations complet sur I.

5°) Tracer la courbe Cf sur l’intervalle [-p ; p ].

6°) Résoudre dans R l’équation : f(x) = 1.

Indiquer les solutions appartenant à l’intervalle [-p ; p ] et vérifier ce résultat sur le graphique précédent.

 

 

III/ Recherche de tangentes. (4 points)

Soit la fonction f définie sur R\{1} par

Déterminer le ou les points (s’il en existe) de la courbe Cf représentative de f où la tangente à Cf est parallèle à la droite (D) d’équation : y = 7x – 3.

On précisera le cas échéant, les coordonnées de ces points ainsi que les équations des tangentes à Cf en ces points. (Le tracé de la courbe n’est pas demandé)

 

 

IV/ Dérivabilité. (4 points)

Soit la fonction f définie sur [–1 ; +¥ [ par : .

1°) Déterminer le signe de P(x) = x2 + x suivant les valeurs de x dans [–1 ; +¥ [.

2°) a) Etudier la dérivabilité de f en x = –1.

b) Etudier la dérivabilité de f en x = 0.

c) Conclure sur les tangentes à la courbe représentative de f aux points d’abscisse –1 et 0.

(Le tracé de la courbe n’est pas demandé)