Bac Blanc 2
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Mercredi 20 avril 2005
 Term S

Bac Blanc (4h)
Mathématiques
(Calculatrice autorisée)

 

Exercice 1 . (5 points)

Une société de maintenance de photocopieurs désire optimiser ses prestations au niveau des entreprises, afin de proposer un abonnement adapté à ses services.

On note, pour n entier naturel non nul, In l’événement " La société intervient durant le n-ième mois qui suit l’installation d’un photocopieur " et pn = p(In).

Le bureau d’étude a mis en évidence les résultats suivants pour une entreprise déterminée :

bulletp(I1) = p1 = 0,75
bulletSachant qu’il y a eu une intervention durant le n-ième mois qui suit l’installation d’un photocopieur, la probabilité d’intervention le mois suivant est égale à 0,04.
bulletSachant qu’il n’y a pas eu d’intervention durant le n-ième mois qui suit l’installation d’un photocopieur, la probabilité d’intervention le mois suivant est égale à 0,64.

On rappelle que est l’événement contraire de l’événement A et que pB(A) est la probabilité conditionnelle de A sachant que B est réalisé.

Partie 1

1°) Préciser (In + 1) et (In + 1) puis calculer p(In + 1 Ç In) et p(In + 1 Ç ) en fonction de pn (nÎ N*).

2°) En déduire pn + 1 = – 0,6pn + 0,64.

3°) On considère la suite (qn) définie sur N* par : qn = pn – 0,4.

  1. Démontrer que (qn) est une suite géométrique.
  2. En déduire qn puis pn en fonction de n.
  3. Donner une valeur approchée de p6 à 10-3 près par excès.

Partie 2

Le même mois, la société de maintenance installe un photocopieur dans 10 entreprises. Six mois plus tard, elle désire libérer une partie de son personnel afin de proposer un stage de mise à niveau.

On estime que la probabilité d’intervention du service de maintenance durant ce mois auprès de chacune de ces entreprises est égale à 0,373.

Donner, à 10-3 près par excès, la probabilité qu’il y ait au moins un déplacement du service de maintenance durant ce mois (on supposera que les interventions dans les différentes entreprises sont des événements indépendants).

 

 

Exercice 2. (élèves ayant choisi la spécialité Mathématiques) (5 points)

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O ;). On prendra pour unité graphique 1 cm.

On considère l’application f du plan dans lui-même qui, à tout point M d’affixe z, associe le point M’ d’affixe z’ telle que :

z’ = – ( + i) z – 1 + i (1 + ).

1°) Montrer que f est une similitude directe dont le centre W a pour affixe i. En déterminer le rapport et l’angle.

2°) Soit M0 le point d’affixe z0 =

Calculer W M0 et donner une mesure de l’angle .

3°) On considère la suite de points (Mn)n ³ 0 définie pour tout entier naturel n par Mn + 1 = f (Mn). On note zn l’affixe du point Mn.

  1. Placer les points W , M0, M1, M2, M3 et M4.
  2. Montrer par récurrence, pour tout entier naturel n, l’égalité :
    zni = 2n (z0i)
  3. Pour tout entier naturel n, calculer W Mn puis déterminer le plus petit entier naturel n tel que W Mn ³ 102.

4°)

  1. On considère l’équation (E) : 7x – 12y = 1 où x et y sont des entiers relatifs. Après avoir vérifié que le couple (–5 ; –3) est solution, résoudre (E).
  2. Soit D l’ensemble des points M du plan d’affixe z telle que Im(z) = 1 et Re(z) ³ 0. Caractériser géométriquement D et le représenter.
  3. Déterminer l’ensemble des entiers naturels n tels que Mn appartienne à la demi-droite d’origine W dirigée par le vecteur . Préciser son plus petit élément.

 

 

Exercice 2. (élèves ayant choisi la spécialité Sc. Physiques ou S.V.T. uniquement) (5 points)

Partie A

1°) z1 et z2 sont des nombres complexes, résoudre le système d’équations suivant :

2°) Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct de centre O d’unité graphique 4 cm, on considère les points A et B d’affixes respectives zA = – + i , zB = –1 + i.

Donner les écritures de zA et de zB sous forme exponentielle.

Placer les points A et B.

3°) Calculer module et argument de .

En déduire la nature du triangle ABO et une mesure de l’angle .

4°) Déterminer l’affixe du point C tel que ACBO soit un losange.

Placer C. Calculer l’aire du triangle ABC en cm2.

Partie B

Soit f la transformation qui, à tout point M d’affixe z, associe le point M’ d’affixe z’ telle que z’ = z.

1°) Définir cette transformation et donner ses éléments caractéristiques.

2°) Quelles sont, sous forme exponentielle, les affixes de A’, B’, et C’, images par f de A, B et C ?

3°) Quelle est l’aire du triangle A’B’C’ en cm2 ?

 

 

Exercice 3. (5 points)

1°) Soit j l’application de R* dans R définie par :

Déduire de l’étude des variations de j dans R* celle du signe de j (x) dans R*.

2°) Soir f l’application de R dans R définie par :

  1. Etudier la continuité puis la dérivabilité de f sur R.
  2. Déterminer les limites de f en +¥ et en –¥ .
  3. Déterminer les variations de f sur ]–¥  ; 0[ et sur ]0 ; +¥ [ (On pourra utiliser les résultats du 1°)
  4. Dresser le tableau de variations complet de f.

3°) a) Déterminer un encadrement de sur [2 ; 3].

b) En déduire un encadrement de l’aire du domaine plan des points M(; y) tels que

 

 

Exercice 4. (5 points)

Partie A

Question de cours :

Soit f est une fonction continue et positive sur [; b].

En utilisant une primitive F de f sur [; b], démontrer que est positif.

Partie B

Soit k un nombre réel. On considère la fonction fk définie sur ]0 ; 1] par :

fk(x) = x(ln x)2 + kx.

On note Ck la courbe représentative de la fonction fk dans le plan rapporté au repère orthonormal (O ;) (unité graphique : 10 cm).

On note I, J et L les points de coordonnées respectives (1 ; 0), (0 ; 1) et (1 ; 1).

Soit a un nombre réel tel que : 0 < a £ 1.

1°) Calcul d’une intégrale

On pose : I(a ) = .

  1. Déterminer, en effectuant deux intégrations par parties successives, que :
    I(a ) =
  2. Déterminer la limite de I(a ) lorsque a tend vers 0.

2°) a) On pose : Sk(a ) = .

Exprimer Sk(a ) en fonction de a . En déduire la limite de Sk(a ) lorsque a tend vers 0.

On admettra que cette limite représente l’aire (exprimée en unités d’aire) du domaine plan limité par la courbe Ck, l’axe (Ox) et la droite d’équation x = 1.

  1. En déduire que les courbes C0, C1/2 et C1 partagent le carré OILJ en quatre parties de même aire.