Bac Blanc 1
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Vendredi 17 décembre 2004
 T°S

Bac Blanc n°1
Mathématiques
4 heures
Calculatrice autorisée)

Exercice 1 (5 points)

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct (O ;), on considère l’application f du plan dans lui-même qui, à tout point M d’affixe z, associe le point M’ d’affixe z’ telle que :
z’ = z2 – 4z.

1°) Soient A et B les points d’affixes zA = 1 – i et zB = 3 + i.

  1. Calculer les affixes des points A’ et B’ images des points A et B par f.
  2. On suppose que deux points ont la même image par f. Démontrer qu’ils sont confondus ou que l’un est l’image de l’autre par une symétrie centrale que l’on précisera.

2°) Soit I le point d’affixe –3.

  1. Démontrer que OMIM’ est un parallélogramme si et seulement si :
    z2 – 3z + 3 = 0.
  2. Résoudre l’équation z2 – 3z + 3 = 0.

3°) a) Exprimer (z’ + 4) en fonction de (z – 2). En déduire une relation entre |z’ + 4| et |z – 2| puis entre arg(z’ + 4) et arg(z – 2).

  1. On considère les points J et K d’affixes respectives zJ = 2 et zK = -4.
    Démontrer que tous les points M du cercle (C) de centre J et de rayon 2 ont leur image M’ sur un même cercle que l’on déterminera.
  2. Soit E le point d’affixe zE = –4 – 3i.
    Donner la forme trigonométrique de (zE + 4) et à l’aide du 3°a) démontrer qu’il existe deux points dont l’image par f est le point E.
    Préciser sous forme algébrique l’affixe de ces deux points.

 

 

Exercice 2 (4 points)

1°) Soit f la fonction définie sur I = ]–2 ; +¥ [ par :

  1. Déterminer deux réels a et b tels que pour tout x de I on ait :
  2. En déduire les primitives de f sur I.

2°) Soit f la fonction définie sur R par : f(x) = x2 e2x.

  1. Déterminer trois réels a, b et c tels que la fonction F définie sur R par : F(x) = (ax2 + bx + c) e2x soit une primitive de f sur R.
  2. En déduire la primitive de f sur R qui s’annule en x = 0.

3°) Soit f la fonction définie sur R par : f(x) = x.cos x.

  1. Déterminer la dérivée de la fonction g définie sur R par : g(x) = x.sin x.
  2. En déduire une primitive de f sur R.

 

Exercice 3 (5 points – Réservé aux spécialités Sc. Physiques et Sc. Naturelles)

Partie A – Démonstration de cours.

Soit (un) une suite croissante non majorée.

1°) Soit M un nombre réel et n0 un entier naturel tel que ³ M.
Démontrer que pour tout entier naturel n, si n ³ n0 alors un ³ M.

2°) Quelle conséquence peut-on en tirer pour la suite (un) ?

3°) Enoncer le théorème du cours ainsi démontré.

Partie B – QCM (Barème au dos de la feuille)

Répondre par Vrai ou Faux aux propositions suivantes :

  1. Si une suite n’est pas majorée alors elle tend vers +¥ .
  2. Si une suite est croissante alors elle tend vers +¥ .
  3. Si une suite tend vers +¥ alors elle n’est pas majorée.
  4. Si une suite tend vers +¥ alors elle est croissante.

Barème du QCM de la Partie B de l’Exercice 3 (Spécialités Sc. Phys. et Sc. Nat.)

Toute réponse exacte rapporte 0,75 point, une réponse inexacte entraîne le retrait de 0,75 point et l’absence de réponse ne rapporte ni ne retire aucun point.

Si le total des points de la partie B est négatif, il est alors ramené à zéro et seuls les points de la Partie A sont alors comptabilisés.

 

 

Exercice 3 (5 points – Réservé aux spécialités Mathématiques)

Dans cet exercice, a et b désignent des entiers strictement positifs.

1°) a) Démonstration de cours :

Démontrer que s’il existe deux entiers relatifs u et v tels que :
a u + b v = 1 alors les nombres a et b sont premiers entre eux.

b) En déduire que si (a² + a bb²)² = 1 , alors a et b sont
premiers entre eux.

2°) On se propose de déterminer les couples d’entiers strictement positifs (a ; b) tels que : (a² + a bb²)² = 1.
Un tel couple sera appelé solution.

a) Déterminer a lorsque a = b .

b) Vérifier que (1 ; 1) , (2 ; 3) et (5 ; 8) sont trois solutions particulières.

c) Montrer que si (a ; b) est solution et si a ¹ b , alors a² – b² < 0.

3°) a) Montrer que si (x, y) est une solution différente de (1 ; 1) alors (y; x) et (; y + x) sont aussi des solutions.

b) Déduire de 2°b) trois nouvelles solutions

4°) On considère la suite de nombres entiers strictement positifs :
(an) n Î définie par : ao = a1 = 1

et pour tout entier n , n ³ 0 , a n + 2 = a n + 1 + a n .

Démontrer que pour tout entier n ³ 0 , (a n ; a n +1) est solution.

En déduire que les nombres a n et a n+1 sont premiers entre eux.

 

 

Exercice 4 (6 points)

On appelle f la fonction définie sur [0; +¥ [ par : f(x) = x + 1 + xe-x.

On note (C) la courbe représentative de f dans le plan muni du repère orthonormal (O ;) (unité graphique : 2 cm).

1°) a) f’ et f’’ désignant respectivement les dérivées première et seconde de f, calculer, pour tout réel x positif, f’(x) et f’’(x).

b) Etudier le sens de variation de la dérivée f’.

Démontrer que pour tout réel x positif, f’(x) > 0.

c) Calculer la limite de f en +¥ .

d) Dresser le tableau de variation de f.

2°) a) Démontrer que la droite D d’équation y = x + 1 est asymptote à (C) et préciser la position relative de D et (C).

b) Montrer que la courbe (C) admet en un point A une tangente parallèle à la droite D.

Déterminer les coordonnées de A.

3°) Démontrer que l’équation f(x) = 2 admet sur [0 ; +¥ [ une unique solution notée a .

Vérifier que 0 < a < 1.

4°) a) Construire la droite D, le point A défini en 2°b), la courbe (C) et la tangente en A à la courbe (C).

b) Donner par lecture graphique une valeur approchée de a .

Rappel de cours :