DEVOIR n°10
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Jeudi 12 mai 2005
 1ère S

DEVOIR commun de Mathématiques (3h)
(Calculatrice autorisée)

 

Exercice 1 (4,5 points)

Soit la suite (un) définie par u0 = 1 et, pour tout entier naturel :

un + 1 = un + 3.

1°) On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; +¥ [ par :

f(x) = x + 3.

  1. Tracer dans un même repère orthonormal d’unité 2 cm la représentation graphique D de la fonction f et la droite D d’équation y = x.
  2. Calculer les coordonnées du point d’intersection de ces deux droites.
  3. En faisant apparaître le mode de construction, utiliser ce graphique pour représenter u1, u2 et u3 sur l’axe des abscisses.
  4. Quels semblent être le sens de variation et la limite de la suite (un) ?

2°) Soit la suite (vn) définie pour tout entier naturel par vn = un + 1un.

  1. Montrer que pour tout entier naturel, vn + 1 = vn.
    Quelle est la nature de la suite (vn) ? Précisez son premier terme v0.
  2. Exprimer vn en fonction de n.
  3. Exprimer vn en fonction de un, et en déduire que, pour tout entier naturel n, un = –3´ .
  4. Déterminer le sens de variation de la suite (un).
  5. Déterminer la limite de la suite (un).

 

Exercice 2 (4 points)

1°) Résoudre dans ]-p  ; p ] l’équation cos 4q = 0.

2°) Démontrer que pour tout réel q , cos 4q = 8 cos4 q – 8 cos2 q + 1.

3°) a) Résoudre dans R l’équation : 8x4 – 8x2 + 1 = 0.

b) On pose : x = cos q , en déduire les valeurs exactes de cos et de cos.

 

Exercice 3 (5,5 points)

Dans une usine chacun des 50 ouvriers reçoit chaque mois 5 € pour chacune des pièces produites par l’ensemble des ouvriers. On estime que chaque ouvrier fabrique 2 pièces par mois. En outre, une prime de 30 250 € est partagée mensuellement entre les ouvriers, tous recevant des parts égales.

1°) Démontrer que si la direction embauche n ouvriers supplémentaires (n Î N), le salaire de chacun devient :

s(n) = 10 ´ f(n)

f désigne la fonction définie sur [0 ; +¥ [ par :

f(x) = x + 50 + .

2°) a) Etudier la limite de f en +¥ .

b) Démontrer que la courbe C représentant f dans un repère admet une asymptote oblique d.

3°) Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation.

4°) Tracer d et C (unités graphiques : 1 cm pour 2 unités en abscisses, 1 cm pour 20 unités en ordonnées).

5°) a) Pour quelle valeur de n, le salaire de chacun est-il minimal ?

b) Quelle est la valeur non nulle minimale de n pour que s(n) devienne supérieur à s(0), c’est-à-dire supérieur au salaire de chaque ouvrier avant embauche des ouvriers supplémentaires ?

On justifiera la méthode utilisée.

c) Comment s’interprète la prime de chacun sur le graphique de la question 4 ?

 

Exercice 4 (6 points)

Le but de l’exercice est de construire la perpendiculaire commune à deux droites non coplanaires.

Dans le repère orthonormé (O ;), on donne les points A(3 ; 0 ; 0), B(3 ; 3 ; 0) et C(0 ; 0 ; 3).

1°) Vérifier que les triangles AOB et AOC sont des triangles rectangles.

2°) M est un point du segment [OB] et I est le projeté orthogonal de M sur la droite (OA).

J est le symétrique de I par rapport au milieu de [OA].

N est le point de [AC] qui se projette orthogonalement en J sur (OA).

  1. Construire une figure.
  2. On pose AI = x (donc x Î [0 ; 3]).
    Exprimer les distances IM et JN en fonction de x.
  3. Déterminer les coordonnées des points M et N en fonction de x.
  4. Exprimer la distance MN en fonction de x.

3°) f est la fonction x 6(x – 2)2 + 3.

  1. Vérifier que MN2 = f(x).
  2. Déterminer la valeur de x0 de x pour laquelle la distance MN est minimale.

4°) Cas où x = 2.

  1. Déterminer MN2, AN2 et AM2.
  2. En déduire que les droites (MN) et (AC) sont perpendiculaires.
  3. Démontrer, de même, que les droites (MN) et (OB) sont perpendiculaires.