DEVOIR n°9
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Mercredi 6 avril 2005
 1ère S1

DEVOIR de Mathématiques (2h)
(Calculatrice autorisée)

 

Exercice 1 (2 points)

Résoudre dans R, puis dans ]-p  ; p ] l’équation : 2 sin 3x + 1 = 0.

 

Exercice 2 (6 points)

Soit u la suite définie par : u0 = 9 et un+1 = 5 – un pour tout nÎ N.

1°) Tracer dans un repère orthonormal (unité graphique : 1 cm) les droites D et D d’équations respectives : y = x + 5 et y = x. En déduire une construction des 5 premiers termes de la suite u

(Expliquer cette construction)

2°) Soit v la suite définie par : vn = un – 3 pour tout nÎ N.

  1. Exprimer pour tout entier n, vn+1 en fonction de vn.
  2. En déduire que v est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme.
  3. Déterminer une expression de vn en fonction de n et en déduire une expression de un en fonction de n.
  4. Justifier que la suite v est convergente et en déduire la convergence de la suite u.

 

Exercice 3 (5 points)

Soit u la suite définie par : u0 = et pour tout nÎ N.

1°) Démontrer que la suite u n’est ni arithmétique, ni géométrique.

2°) On admet que pour tout entier n, un est non nul et on définit la suite v par :

pour tout nÎ N.

  1. Exprimer pour tout entier n, vn+1 en fonction de vn.
  2. En déduire que v est une suite arithmétique dont on donnera la raison et le premier terme.
  3. Exprimer vn puis un en fonction de n.
  4. Quelle est la limite de la suite v ? En déduire la limite de la suite u.

 

Exercice 4 (2 points)

L’espace est muni d’un repère (O, ).

1°) Les points A(1 ; –2 ; 3), B(1 ; 2 ; –1) et C(1 ; 1 ; 0) sont-ils alignés ? (Justifier)

2°) Les points A(1 ; 0 ; 2), B(1 ; 1 ; 0), C(0 ; –1 ; 1) et D(2 ; 3 ; –1) sont-ils coplanaires ? (Justifier)

 

Exercice 5 (5 points)

Soit un cube ABCDEFGH.

1°) a) Démontrer que (FG) est perpendiculaire au plan (CGH).

b) Démontrer que (CH) est perpendiculaire au plan (AFG).

c) Que peut-on en déduire pour les droites (AG) et (CH) ?

2°) Soit I le milieu de [BC] et J le milieu de [CD].

Justifier que les droites (FI) et (HJ) sont sécantes en un point K.

3°) Déterminer l’intersection de la droite (AG) avec le plan (IJK).

(Justifier la construction)