DEVOIR n°6
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Lundi 10 janvier 2005
 1ère S1-2-3

DEVOIR de MATHEMATIQUES (3h)
(Calculatrice autorisée)

 

Exercice 1 (3 points)

Résoudre dans R l’inéquation suivante :

 

Exercice 2 (6 points)

On a tracé ci-contre la représentation graphique C d’une fonction polynôme du troisième degré définie par :

f(x) = ax3 + bx2 + cx + d,

a, b, c et d sont des constantes réelles.

1°) Lire graphiquement les coordonnées des points A et B de la courbe C.

2°) Lire graphiquement le coefficient directeur des tangentes à la courbe C aux points d’abscisses A et B.

3°) Déterminer l’expression de la fonction dérivée de f.

4°) En déduire un système d’équation vérifié par les réels a, b, c et d.

5°) En déduire que f(x) = x3 – 5x2 + 7x – 2.

6°) Déterminer une équation de la tangente T à C au point d’abscisse 0 et la position de C par rapport à cette tangente.

7°) Existe-t-il un autre point de la courbe C où la tangente est parallèle à la droite T ?

 

Exercice 3 (3,5 points)

Soit ABC un triangle quelconque, on note : a = BC, b = AC, c = AB, = BAC, = ABC, = BCA.

1°) Démontrer que : .

2°) En déduire que : a = c ´ cos + b ´ cos .

3°) Exprimer c et b en fonction de a, sin , sin et sin .

4°) En déduire que : sin = sin ´ cos + sin ´ cos .

5°) En déduire une nouvelle démonstration de la formule d’addition donnant sin( + ).

 

Exercice 4 (7,5 points)

On veut construire un triangle FGH avec FG = 8, GH = 9 et GFH = 45°.

Partie A

1°) Résoudre dans R l’équation (E) : x2 – 8x – 17 = 0.

2°) Déterminer la longueur FH.

Partie B

On veut vérifier le résultat de la partie A en se plaçant dans un repère orthonormal.

Soient F(-5 ; -2), G(3 ; -2) et I(-3 ; 0) dans un repère orthonormal (O ;).

1°) Calculer FG.

2°) Calculer GFI.

3°) Déterminer une équation de la droite (FI).

4°) Déterminer une équation du cercle C de centre G et de rayon 9.

5°) Justifier qu’un des points d’intersection de (FI) et de C est un point H solution au problème posé au début de cet exercice.

6°) Déterminer les coordonnées des points d’intersection de (FI) et de C.
En utilisant la figure et les résultats précédents, en déduire les coordonnées du point H.

7°) Calculer FH2 et vérifier le résultat de la partie A.