DEVOIR n°2
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Jeudi 7 octobre 2004
 1°S1

DEVOIR de Mathématiques (2h)
(Calculatrice interdite)

 

I/ Fonctions. (6,5 points)

Soit f la fonction définie sur R\{4} par :

et soit g la fonction définie sur [–1 ; +¥ [ par :

1°) Expliquer comment obtenir le tracé de a représentation graphique de f à l’aide d’une des fonctions de référence vues en cours. Faire une figure.

2°) Expliquer comment obtenir le tracé de la représentation graphique de g à l’aide d’une des fonctions de référence vues en cours. Faire une figure.

3°) a) Résoudre dans R l’équation g(x) = 4.

b) Résoudre dans R l’inéquation f(x) ³ –1.

4°) a) Déduire du 3° l’ensemble de définition des fonctions fog et gof.

b) Déterminer l’expression des fonctions fog et gof en fonction de x sur leur ensemble de définition respectif.

 

 

II/ Paraboles. (4,5 points)

Soit f la fonction définie sur R par : f(x) = –(x – 3)2 + 5.

1°) Expliquer comment obtenir le tracé de la courbe représentative de f en deux étapes, et la tracer dans le repère ci-contre.

2°) La courbe (Cg) tracée ci-contre est la représentation d’une fonction g définie sur R.

  1. Quelle transformation géométrique a-t-on utilisée pour tracer la courbe (Cg) et à partir de quelle fonction de référence ?
  2. En déduire que : g(x) = x2 – 4x – 4.

3°) Résoudre algébriquement l’inéquation :
f(x) ³ g(x) et expliquer graphiquement le résultat.

 

 

III/ Angles et coordonnées. (2,5 points)

Soient A(1 ; 2), B(4 ; 1) et C(–1 ; 6) dans un repère orthonormal (O ;).

1°) Calculer AB et AC.

2°) Calculer .

3°) En déduire la valeur exacte de cos BAC et une valeur exacte en radians de l’angle BAC.

 

 

IV/ Puissance d’un point par rapport à un cercle. (3,5 points)

Soit (C) un cercle de centre O et de rayon R et M un point n’appartenant pas à cercle.

Une droite (D) passe par M et coupe le cercle (C) en deux points A et B.

On note A le point diamétralement opposé à A sur le cercle (C).

Soit T un point du cercle (C) tel que la droite (MT) soit tangente au cercle (C).

1°) Démontrer que :

2°) En déduire que :

 

 

V/ Equations cartésiennes de droites. (3 points)

Soient A(–2 ; 2), B(1 ; –4) et C(–1 ; 4) dans un repère orthonormal (O ;).

1°) Déterminer une équation cartésienne de la droite (D ), médiatrice du segment [AB].

2°) Déterminer une équation cartésienne de la droite (D) parallèle à (AB) passant par C.

3°) Déterminer les coordonnées du point K, intersection des droites (D ) et (D).