DEVOIR n°8
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Jeudi 18 mars 2004
 Term S

DEVOIR de Mathématiques (2h)
(Calculatrice autorisée)

 

Exercice 1 (4 points)

Soient et .

1°) Calculer K = 2I + J et L = 2I J.

2°) En déduire I et J.

 

 

Exercice 2 (7,5 points)

Pour les questions 1 et 2, on donnera le résultat sous forme de fraction.

M. Martin a 17 cravates : 12 cravates à motifs et 5 cravates unies. Il range toujours 10 cravates (7 à motifs et 3 unies) du côté gauche de son armoire et 7 cravates (5 à motifs et 2 unies) de l’autre côté.

1°) M. Martin devant partir en voyage pendant 3 jours a besoin de 3 cravates. Pour cela, il les choisit simultanément et au hasard du côté gauche de son armoire. Soit X le nombre de cravates à motifs qu’il choisit :

a) Déterminer la loi de probabilité de X.

b) Calculer E(X).

2°) Lorsqu’il ne voyage pas, pour déterminer la cravate qu’il portera dans la journée, M. Martin utilise la méthode suivante : il choisit un côté de l’armoire au hasard, de façon équiprobable, et il prend ensuite une cravate, toujours au hasard, sur le côté choisi.

On considère les événements suivants :

G : " M. Martin choisit le côté gauche de l’armoire ".

D : " M. Martin choisit le côté droit de l’armoire ".

M : " M. Martin tire une cravate à motifs ".

U : " M. Martin tire une cravate unie ".

a) Calculer p(M).

b) Calculer pM(G).

3°) Tous les jours, pendant n jours, M. Martin prend une cravate au hasard avec une probabilité égale à de tirer une cravate à motifs. Chaque soir, il remet la cravate utilisée pendant la journée à sa place.

a) Calculer en fonction de n la probabilité pn pour qu’il ait pris au moins une cravate à motifs.

b) Calculer la plus petite valeur de n pour laquelle pn ³ 0,99

 

 

 

Exercice 3 (8,5 points)

On désigne par f la fonction définie sur R par :

f(x) = ln(ex + 1)

Partie A. Etude de la fonction f.

1°) a) Calculer les limites de f en +¥ et en -¥ .

b) Etudier les variations de f et construire son tableau de variations.

2°) a) Démontrer que pour tout réel x : f(x) = x + ln(e-x + 1)

b) Démontrer que la courbe (C) représentative de f, admet deux droites asymptotes dont la droite (D ) d’équation : y = x.

c) Déterminer la position de (C) par rapport à chacune d’elles.

3°) Construire la droite (D ) et la courbe (C) dans un repère orthonormal
(O ; ). (unité : 2 cm)

Partie B. Approximation de f par une fonction polynôme.

On désire approcher f par une fonction polynôme sur l’intervalle [0 ;1].

A cet effet, on considère la fonction g définie sur [0 ;1] par :

1°) a) Etudier les variations de la fonction g’ (dérivée de g) sur l’intervalle [0 ;1]. En déduire le signe de g’(x).

b) Etudier les variations de la fonction g sur l’intervalle [0 ;1] et en déduire le signe de g(x).

2°) Démontrer que, pour tout x de [0 ;1] : 0 £ g(x) £ 5.10-3.

Conclure.