DEVOIR n°6
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Jeudi 22 janvier 2004
 Term S

Devoir de mathématiques (2h)
(Calculatrice autorisée)

 

Exercice 1

a et b sont deux réels tels que 0 < a £ b.

  1. Résultat préliminaire.

    On appelle g = leur moyenne géométrique et m = leur moyenne arithmétique.

    Démontrer que : a £ g £ m £ b.

  2. Etude de deux suites.

Soient (an)nÎ N et (bn)nÎ N les suites à termes strictement positifs définies par :

bulleta0 = a et pour tout n de N, an+1 =  ;
bulletb0 = b et pour tout n de N, bn+1 = .

1°) En utilisant le résultat de la question préliminaire démontrer que pour tout n de N, an £ bn , que la suite (an)nÎ N est croissante et que la suite (bn)nÎ N est décroissante.

2°) Démontrer que pour tout n de N, bn+1an+1 £ , en déduire que : bnan £ .

3°) Démontrer que les suites (an)nÎ N et (bn)nÎ N sont adjacentes, que peut-on en déduire ?

4°) Application : Soit a = 1 et b = 10, calculer à l’aide de la calculatrice a4 et b4 à 10-5 près.

(Remarque : La valeur ainsi obtenue est une valeur approchée de la moyenne arithmético-géométrique des nombres a et b.)

 

 

Exercice 2

Soit f la fonction définie sur R par :

f(x) = x – 1 + (x2 + 2)e-x.

On note (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal d’unité graphique 2 cm.

  1. Etude d’une fonction auxiliaire.

Soit g la fonction définie sur R par :

g(x) = 1 – (x2 – 2x + 2)e-x.

  1. Etudier les limites de g en –¥ et en +¥ .
  2. Etudier le sens de variation de g.
  3. Démontrer que l’équation g(x) = 0 admet une solution unique a dans R, puis justifier que :
    0,35 £ a £ 0,36.
  4. En déduire le signe de g.
  1. Etude de f.
  1. Etudier les limites de f en –¥ et en +¥ .
  2. Calculer f’(x). En utilisant la partie A, étudier le sens de variation de f.
  3. Démontrer que f(a ) = a (1 + 2e-a ) et déterminer un encadrement de f(a ) d’amplitude 4´ 10-2.
  4. Démontrer que la droite D d’équation y = x – 1 est asymptote à (C) en +¥ .
    Préciser la position de (C) par rapport à D .
  5. Donner une équation de la tangente T à (C) au point d’abscisse 0.
  6. Tracer D , T et (C).