DEVOIR n°5
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Vendredi 28 novembre 2003
 T°S1-2

DEVOIR de Mathématiques (2h)
(Calculatrice autorisée)

Exercice 1

1°) a) Résoudre dans C l’équation z2 – 2z + 2 = 0.

Préciser le module et un argument de chacune des solutions.

b) En déduire les solutions dans C de l’équation (– iz + 3i + 3)2 – 2(– iz + 3i + 3) + 2 = 0.

2°) Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O ;) d’unité graphique 2 cm. On considère les points A, B et C d’affixes respectives zA = 1 + i, zB = et zC = 2 zB.

a) Déterminer les formes algébriques de zB et zC. et placer les points A, B et C.

(On complétera la figure au fur et à mesure des questions de l’exercice)

b) Montrer que les points A, B et C appartiennent au cercle (C) de centre I d’affixe 3 et de rayon .

c) Calculer , en déduire la nature du triangle IAC.

d) Le point E est l’image du point O par la translation de vecteur . Déterminer l’affixe du point E.

e) Le point D est l’image du point E par la rotation de centre O et d’angle . Déterminer l’affixe du point D

f) Démontrer que les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires.

 

Exercice 2

Soit la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; +¥ [ par : .

1°) a) Calculer la limite de f en +¥ .

b) Etudier les variations de f sur [0 ; +¥ [ et dresser son tableau de variations.

2°) Soit F la primitive de f sur [0 ; +¥ [ telle que F(0) = 0. On ne cherchera pas à exprimer F(x).

  1. Pourquoi peut-on affirmer l’existence de F sur [0 ; +¥ [ ?
  2. Quelles sont les variations de F sur [0 ; +¥ [ ?

3°) On définit sur [0 ; +¥ [ les fonctions H et K par H(x) = F(x) – x et K(x) = F(x) – x.

  1. Etudier, sur [0 ; +¥ [, les variations de H et K.
  2. En déduire que, pour tout x ³ 0, on a : x £ F(x) £ x.
  3. En déduire la limite de F en +¥ .

4°) a) Démontrer que l’équation F(x) = p admet une solution unique a sur [0 ; +¥ [.

b) Montrer que l’on peut préciser : p £ a £ p .

 

Exercice 3

Soit f la fonction définie sur ]-1 ; 1[ par : , F la primitive de f sur ]-1 ; 1[ qui s’annule en 0, et g la fonction définie sur par : g(x) = F(sin x).

Démontrer que g’(x) = 1 sur et en déduire que F(sin x) = x pour tout x de .