DEVOIR n°4
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Vendredi 7 novembre 2003
 Term S1

DEVOIR de Mathématiques (3h)
(Calculatrice autorisée)

Exercice (8 points)

Partie A

On considère le polynôme P(z) de la variable complexe :

P(z) = z3 + 2(1 – i) z2 + 2(1 – 2i) z – 4i.

  1. Calculer P(i) et P().
  2. Déterminer le réel y tel que iy soit solution de l’équation P(z) = 0.
  3. En déduire une factorisation de P(z).
  4. Résoudre dans l’ensemble C des nombres complexes : P(z) = 0.

Partie B

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonomal direct (O ;). On prendra 2 cm pour unité graphique.

1°) Placer les points A, B et C d’affixes respectives zA = -1 + i, zB = -1 – i et zC = 2i.

2°) Déterminer l’affixe du point D définie par puis placer D.

3°) Montrer que l’affixe du milieu I de [CD] est : zI = 1.

4°) a) Calculer les nombres complexes et .

b) Calculer le module et un argument de ces deux nombres.

c) En déduire la nature des triangles ACD et BCD.

d) Montrer que les points A, B, C et D sont sur un même cercle (C) dont on précisera le centre et le rayon. Tracer (C).

 

Problème (12 points)

Partie A

Soit g la fonction définie sur R par : g(x) = x3(x + 2).

1°) Etudier les variations de g sur R.

2°) Démontrer que l’équation g(x) = 1 admet exactement deux solutions a et b sur R (on appellera b la solution positive) et donner un encadrement d’amplitude 10-2 de chacune d’elles.

3°) En déduire :

  1. la résolution sur R de l’inéquation : g(x) > 1.
  2. la résolution sur ]0 ; +¥ [ de l’inéquation :

Partie B

Soit f la fonction définie sur ]-¥  ; -2]È ]0 ;+ ¥ [ par :

et (Cf) sa courbe représentative dans un repère orthonormal.

(unité graphique : 1 cm)

1°) Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.

2°) Démontrer que les droites d’équation (d1) : y = x + 1 et (d2) : y = x – 1 sont asymptotes obliques à (Cf) ; préciser une troisième droite asymptote à (Cf).

3°) Etudier la dérivabilité de f sur son ensemble de définition.

4°) Démontrer que sur ]-¥  ; -2[È ]0 ;+ ¥ [ on a :

En déduire les variations de f et dresser son tableau de variations complet.

5°) Démontrer que et en déduire un encadrement de f(b ) d’amplitude 0,08.

6°) Tracer la courbe (Cf).