DEVOIR n°3
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Jeudi 9 octobre 2003
 Term S

DEVOIR de MATHEMATIQUES (2h)
(Calculatrice autorisée)

 

Exercice 1.

Soient A, B, C et D’ les points d’affixes respectives : zA = -1, zB = i, zC = 1 + 2i et zD’ = 2i dans le plan complexe P muni d’un repère orthonormal (O ;. (unité 5 cm)

Soit j l’application du plan P privé de B dans P qui à tout point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ tel que :

1°) Déterminer l’image C’ du point C et l’antécédent D du point D’ par l’application j .

Placer les points A, B, C, C’, D et D’.

2°) On pose z = x + iy et z’ = x’ + iy’, avec x, x’, y, y’ réels.

Exprimer x’ et y’ en fonction de x et de y.

3°) Déterminer et représenter l’ensemble des points M du plan d’affixe z tels que z’ soit réel.

4°) Déterminer et représenter l’ensemble des points M du plan d’affixe z tels que z’ soit imaginaire pur.

 

 

Exercice 2.

1°) Soit a et b deux réels et f la fonction définie sur R par :

 

Déterminer les réels a et b pour que f soit continue sur R.

2°) Soit g la fonction définie sur R par :

Etudier la dérivabilité de g sur R.

 

 

Exercice 3.

Partie A

Soit P la fonction polynôme définie sur R par : P(x) = x3 – 3x + 4.

1°) Etudier les variations de P.

2°) Démontrer que l’équation P(x) = 0 admet une unique solution a dont on donnera une valeur approchée à 10-2 près.

3°) En déduire le signe de P(x) suivant les valeurs de x.

 

Partie B

Soit f la fonction définie sur R* par :

et Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O ;. (unité 1 cm)

1°) Démontrer que la courbe Cf admet deux asymptotes que l’on précisera.

Préciser la position de Cf par rapport à la droite D d’équation y = x + 2.

2°) Démontrer que et en déduire le sens de variation de f.

3°) Déterminer le ou les points où la tangente à la courbe Cf est parallèle à la droite D .

4°) Tracer la courbe Cf , la droite D et les autres renseignements obtenus sur Cf ,.