DEVOIR n°2
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Vendredi 19 septembre 2003
T°S1-2

DEVOIR de Mathématiques (2h)
(Calculatrice autorisée)

 

I/ Fonction trigonométrique. (6 points)

Soit f la fonction définie sur R par : f(x) = cos(2x) – 2cos x.

1°) Déterminer le signe de g(x) = (1 – 2 cos x)sin x en fonction des valeurs de x sur l’intervalle [0; p ].

2°) Déterminer la parité de f et montrer que f est périodique de période 2p .

En déduire un intervalle d’étude approprié.

3°) Etudier les variations de f sur l’intervalle considéré.

4°) Tracer la courbe représentative de f sur l’intervalle ]- 2p  ; 2p ]. (unité graphique : 1 cm)

 

II/ Equations. (4 points)

1°) a) Ecrire en fonction de cos(3x) et sin(3x) l’expression : .

b) En déduire la résolution dans R de l’équation :

cos(3x) + sin(3x) = .

2°) a) Développer l’expression : (2 – )2.

b) En déduire la résolution dans ]-p  ; p ] de l’équation :

2 sin2 x + (+ 2)sin x + = 0.

 

III/ Valeurs remarquables. (5 points)

Soit xÎ [0 ; p [ tel que tan x = – 2

1°) Calculer cos x.

2°) Calculer tan(2x).

3°) En déduire la valeur de x.

4°) Vérifier les résultats du 1°) et du 3°) en calculant cos(2x).

 

IV/ Etude d’une fonction. (6 points)

Soit f la fonction définie sur R par : f(x) = (x – 3)|x2 – 3x|

1°) Donner l’expression de f sur chacun des intervalles : I = ]-¥  ; 0[, J = [0 ; 3] et K = ]3 ; +¥ [.

2°) Etudier la dérivabilité de f.

Que peut-on en déduire pour la courbe Cf représentative de f aux points d’abscisses 0 et 3 ?

3°) Etudier les variations de f sur chacun des intervalles I, J, K.
(on ne demande pas le tracé de la courbe Cf)

4°) Déterminer une équation de la tangente à la courbe Cf au point d’abscisse 2.