Bac Blanc n°2
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Mercredi 28 avril 2004
 Term S

Bac Blanc II

Mathématiques (4 h)
(Calculatrice autorisée)

 

Exercice 1 (élèves suivant la spécialité S.V.T. ou Sc. Physiques)

Partie A

1°) Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation : z2 – 2z + 4 = 0.

Les solutions seront notées z’ et z² , z’ désignant la solution dont la partie imaginaire est positive.

Donner les solutions sous forme algébrique puis sous forme exponentielle.

2°) Donner la valeur exacte de (z’)2004 sous forme algébrique.

Partie B

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct (O ;) ; (unité graphique : 2 cm).

1°) Montrer que les points A d’affixe 1 + i et B d’affixe 1 – i sont sur un même cercle de centre O dont on précisera le rayon.

Tracer ce cercle puis construire les points A et B.

2°) On note O’ l’image du point O par la rotation r1 de centre A et d’angle

et B’ l’image du point B par la rotation r2 de centre A et d’angle .

Calculer les affixes des points O’ et B’ et construire ces points.

3°) Soit I le milieu du segment [OB].

  1. Que peut-on conjecturer pour la droite (AI) dans le triangle AO’B’ ?
  2. Calculer l’affixe du vecteur .
    Montrer que l’affixe du vecteur est égale à 3i.
  3. La conjecture émise à la question a) est-elle vraie ?

 

Exercice 1 (élèves suivant la spécialité Mathématiques)

Chaque question comporte 5 affirmations, chacune d’elles peut être Vraie ou Fausse. Vous devez inscrire dans chacune des 5 cases des 5 questions un " V " si vous pensez que l’affirmation correspondante est Vraie, un " F " si vous pensez qu’elle est Fausse ; ne rien inscrire si vous ne savez pas ! Il sera compté 0,2 pour chaque bonne réponse (+ 0,2) et enlevé 0,2 pour chaque mauvaise réponse (– 0,2), aucun point n’est accordé en cas d’absence de réponse (+ 0,0). L’exercice est donc noté sur 5.

Remarque : Pour chaque question, une note négative sera ramenée à 0.

Exercice 2 (commun à toutes les spécialités)

Les résultats de cet exercice seront donnés sous forme décimale arrondie au centième.

Les trois parties A, B et C sont indépendantes.

Un camp d’adolescents propose des stages d’activités nautiques pour débutants avec au choix : planche à voile, plongée ou ski nautique.

Lors d’un stage donné, ce camp accueille vingt jeunes dont sept seront initiés à la planche à voile, huit à la plongée et cinq au ski nautique. Chaque stagiaire ne pratique qu’une seule des trois activités.

Partie A

On forme un groupe de 3 stagiaires choisis au hasard parmi les vingt.

1°) Combien de groupes est-il possible de former ?

2°) Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants :

A : " Les trois stagiaires pratiquent des activités différentes " ;

B : " Les trois stagiaires pratiquent la même activité " ;

C : " au moins l’un des trois stagiaires pratique le ski nautique ".

Partie B

Parmi les vingt stagiaires, un seul se prénomme Christian.

Chaque jour, on choisit au hasard un groupe de trois stagiaires chargé du service au repas de midi.

1°) Montrer que la probabilité que Christian soit choisi un jour donné pour le service de midi est égale à 0,15.

2°) La durée du stage est de cinq jours.

  1. Quelle est la probabilité de ne jamais choisir Christian pour le service de midi pendant le séjour ?
  2. Quelle est la probabilité de le choisir au moins une fois ?
  3. Montrer que le probabilité de choisir Christian au moins deux fois est inférieure à 0,2.

Partie C

En fin de séjour on choisit une activité au hasard, puis on choisit toujours au hasard un stagiaire ayant suivi cette activité pour faire un compte-rendu de la semaine. Sur les vingt stagiaires il y a huit filles : quatre en plongée, trois en planche à voile et une au ski nautique.

1°) Quelle est la probabilité que ce soit une fille qui fasse le compte-rendu de fin de semaine ?

2°) C’est finalement une fille qui fait le compte-rendu, quelle est la probabilité qu’elle ait fait de la plongée ?

 

Exercice 3 (commun à toutes les spécialités)

Partie A

On considère la fonction numérique f de la variable réel x définie sur l’intervalle [0 ; +¥ [ par :

f(x) = e1 – x.

Elle est dérivable sur l’intervalle ]0 ; +¥ [. On note f’ sa dérivée.

On note (C) la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormal (O ;).

1°) Déterminer la limite de f en +¥ (On pourra pour cela justifier et exploiter l’écriture, pour tout x réel strictement positif, ).

Interpréter graphiquement le résultat.

2°) Pour x élément de ]0 ; +¥ [, calculer f’(x).

3°) Déduire des questions précédentes le tableau de variation de f.

4°) Tracer la courbe (C) (unité graphique : 2 cm).

Partie B

On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n non nul par

1°) Interpréter géométriquement un.

2°) Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, f(n + 1) £ un £ f(n).

3°) En déduire que la suite (un) est décroissante.

4°) Prouver la convergence de la suite (un) et déterminer sa limite.

Partie C

On considère la fonction numérique F de la variable réelle x définie sur [1 ; +¥ [ par

1°) a) Montrer que F est dérivable sur [1 ; +¥ [ et calculer F’(x).

b) En déduire le sens de variation de F.

2°) a) Démontrer que, pour tout réel t positif, t + 2 ³ 2.

b) En déduire que, pour tout x de l’intervalle [1 ; +¥ [, .

c) À l’aide d’un intégration par parties, montrer que, pour tout x appartenant à [1 ; +¥ [,

d) En déduire que, pour tout x appartenant à [1 ; +¥ [, 0£ F(x) £ .

3°) On note, pour tout entier naturel n non nul, Sn la somme des n – 1 premiers termes de la suite (un). Exprimer Sn à l’aide d’une intégrale. Montrer que la suite (Sn) converge et donner un encadrement de sa limite.

 

NOM, Prénom, Classe : ………………………………………………………………………………

Mercredi 28 avril 2004
Term S

Bac Blanc II

Mathématiques (4 h)
(Calculatrice autorisée)

 

Exercice 1 (élèves suivant la spécialité Mathématiques)

Chaque question comporte 5 affirmations, chacune d’elles peut être Vraie ou Fausse. Vous devez inscrire dans chacune des 5 cases des 5 questions un " V " si vous pensez que l’affirmation correspondante est Vraie, un " F " si vous pensez qu’elle est Fausse ; ne rien inscrire si vous ne savez pas ! Il sera compté 0,2 pour chaque bonne réponse (+ 0,2) et enlevé 0,2 pour chaque mauvaise réponse (– 0,2), aucun point n’est accordé en cas d’absence de réponse (+ 0,0). L’exercice est donc noté sur 5.

Remarque : Pour chaque question, une note négative sera ramenée à 0.

 

Question 1 a b c d e
Question 2 a b c d e
Question 3 a b c d e
Question 4 a b c d e
Question 5 a b c d e

 

Question 1

Soient a, b et d trois entiers relatifs tels que d divise a et b, alors :

  1. d2 divise ab.
  2. d2 divise a + b.
  3. d2 divise a2 + b2.
  4. a + b divise a3 + b3.
  5. ab est un multiple de d.

 

Question 2

La somme de trois nombres impairs consécutifs…

  1. est toujours un nombre premier
  2. n’est jamais un nombre premier
  3. est un multiple de 3
  4. peut être un multiple de 9
  5. possède au moins deux diviseurs positifs autre que 1.

 

Question 3

Soient kÎ R*, a Î ]-p  ; p ], bÎ C, alors : z’ = k eia z + b. est l’écriture complexe …

  1. d’une translation dès que a = 0.
  2. d’une rotation d’angle a dès que | k | = 1.
  3. d’une homothétie dès que a = 0 ou a =p .
  4. de la composée, dans l’ordre, d’une rotation d’angle a , d’une homothétie de rapport k et d’une translation.
  5. avec a =

et k = 2, d’une transformation possédant au moins un point invariant.

 

Question 4

  1. L’image d’une droite par une similitude directe est une droite parallèle.
  2. Une similitude directe de rapport k multiplie les aires par k

    Soit s la similitude directe du plan de rapport , d’angle et de centre M0 d’affixe z0 = 1 – i.

  3. s a pour écriture complexe : .
  4. L’image par s de la droite D d’équation x + y = est la droite D’ d’équation y = .
  5. La réciproque s-1 de s a pour écriture complexe :

 

Question 5

Dans le plan on considère trois points non alignés P, Q, R et a , b , g des mesures des angles , et . On appelle :

bulletrP,a la rotation de centre P et d’angle a ,
bulletrQ,b la rotation de centre Q et d’angle b ,
bulletrR,g la rotation de centre R et d’angle g ,
bulletI le point d’intersection des bissectrices du triangle (PQR)

alors :

  1. rQ,b est la composée de la réflexion d’axe (IQ) suivie de la réflexion d’axe (QR)
  2. rQ,b o rR,g est la réflexion d’axe (IR)
  3. rQ,b o rR,g est la rotation de centre I et d’angle pa
  4. rP,a o rQ,b o rR,g est la rotation de centre I et d’angle a + b + g
  5. rP,a o rQ,b o rR,g est une symétrie centrale