DEVOIR n°10
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Mercredi 7 avril 2004
 1ère S3

Devoir de Mathématiques (2h)
(Calculatrice autorisée)

 

Exercice I - Courbe asymptote. (5 points)

Soit f : et (Cf) sa représentation graphique dans un repère orthogonal (O ;)

1°) a) Déterminer l’ensemble de définition Df de f.

b) Démontrer que (Cf) admet une asymptote verticale.

2°) a) Montrer que pour tout x de Df, f(x) peut s’écrire sous la forme + h(x) où h est une fonction qui vérifie .

b) Soit (Cg) la représentation graphique de la fonction . Quelle conséquence peut-on déduire de la question a) pour les courbes (Cf) et (Cg) ?

c) Etudier la position relative de ces deux courbes.

d) Etudier le sens de variation de f.

e) Tracer (Cf) et (Cg) sur un même graphique.

 

Exercice II (4,5 points)

On considère la suite (un) définie pour tout nÎ N par :

1°) a) Calculer u1 et u2.

b) Justifier que pour tout n ³ 1, un ³ 1.

2°) On pose vn = (un – 1)2.

  1. Démontrer que (vn) est une suite arithmétique
  2. Calculer vn puis un en fonction de n.

 

Exercice III (4,5 points)

On considère la suite (un) définie pour tout nÎ N par :

1°) a) Calculer u1 , u1 , u3 ; la suite (un) est-elle géométrique ?

2°) Soit vn = un+1u; montrer que (vn) est une suite géométrique.

3°) On pose Sn = v0 + v1 + … + vn.

  1. Calculer Sn en fonction de n.
  2. Montrer que Sn = un+1 u0.
  3. En déduire l’expression de un+1 puis celle de un en fonction de n.

 

Exercice IV (3 points)

Un jardinier doit déposer une brouette d’engrais au pied de chacun des vingt arbres qui bordent un côté d’une allée. Les arbres sont espacés de 4 mètres et les sacs d’engrais se trouvent 15 mètres avant le premier arbre.

Quel chemin aura-t-il parcouru après avoir achevé son travail et ramené la brouette près des sacs d’engrais ?

 

Exercice V (3 points)

L’espace est muni d’un repère orthonormé (O ; ).

1°) déterminer une équation du cône C de centre O, d’axe (Ox) et passant par le point A(-1 ; 1 ; 2).

2°) Déterminer la nature puis l’équation de la section du cône C par le plan d’équation x = 2.

Préciser ses éléments caractéristiques.

3°) Déterminer la nature et les équations de la section du cône C par le plan (xOz).