DEVOIR n°9
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Mercredi 17 mars 2004
 1ère S3

DEVOIR de MATHEMATIQUES (2h)
(Calculatrice autorisée)

 

I/ Fonction trigonométrique. (6 points)

Soit la fonction f définie sur R par : f(x) = cos 2x – 2cos x – 1.

et Cf sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

1°) Vérifier que f est périodique de période 2p et étudier sa parité.

Justifier qu’on peut alors restreindre l’intervalle d’étude de f à I = [0 ;p ]

2°) Démontrer que pour tout x de I on a : f’(x) = -4 sin x.(cos x)

3°) Déterminer le signe de A(x) = sin x et de B(x) = cos x sur I et en déduire les variations de f sur I. Dresser le tableau de variations complet de f sur I.

4°) Tracer la courbe Cf sur I.

5°) Compléter le tracé de la courbe Cf à [-2p  ; 2p ] en justifiant la construction.

 

II/ Courbes et asymptotes. (6 points)

Soit la fonction f définie sur R\{-1 ; 1} par : f(x) =

1°) Déterminer les réels a, b, c et d tels que pour tout x Î R\{-1 ; 1} , f(x) = ax + b +

2°) En déduire, en justifiant, toutes les droites asymptotes à la courbe (C) représentative de f.

Déterminer la position relative de la courbe (C) et de la droite (D) d’équation y = x.

 

III/ Suites numériques. (4 points)

Soit u la suite définie par : un = n + 1 – pour tout nÎ N*

et v la suite définie par : v0 = 2 et vn+1 = (vn)2vn + 1 pour tout nÎ N.

1°) Calculer les 3 premiers termes de chaque suite.

2°) Etudier la monotonie de chaque suite.

3°) La suite u est-elle convergente ?

 

IV/ Géométrie dans l’espace. (4 points)


Soit un cube comme ci-contre, on note I le milieu de [AB], J le milieu de [DH] et K tel que .

1°) Recopier le cube et placer I, J et K sur la figure.

2°) Justifier que la parallèle à (FG) passant par J et la droite (AE) sont sécantes. On note L leur point d’intersection.

3°) Justifier que les droites (LF) et (JK) sont sécantes.
On note M leur point d’intersection.

4°) Justifier que les droites (IM) et (BF) sont sécantes.
On note N leur point d’intersection.

5°) Justifier que le point N appartient au plan (IJK)

6°) Compléter, en justifiant, la section du plan (IJK) avec le cube ABCDEFGH.