DEVOIR n°8
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Jeudi 12 février 2004
1°S3

DEVOIR de Mathématiques (2h)
(Calculatrice autorisée)

I/ Statistiques (5 points)

Une machine fabrique automatiquement un produit alimentaire, on pèse un lot de 400 produits :

Poids xi (en g)

256

257

258

259

260

261

262

263

264

265

267

Effectif ni

4

12

27

57

120

65

46

32

21

14

2

1°) a) Déterminer, en justifiant, la médiane, le 1er et le 3ème quartile.

b) Tracer le diagramme en boîte (boîte à moustaches) de la série statistique.

2°) Pour simplifier les calculs en pose yi = 260 – xi .

  1. Tracer et compléter le tableau de la nouvelle série statistique
    (on fera figurer ni, yi, niyi, et niyi2).
  2. Calculer la moyenne et l’écart-type sy de la nouvelle série.
  3. En déduire la moyenne

et l’écart-type sx de la série statistique initiale.

 

II/ Trigonométrie (5 points)

1°) Simplifier les expressions suivantes :

  1. .

(On ne demande pas la valeur de ni celle de )

2°) Résoudre dans R puis dans ]-p  ;p ] l’équation : sin 3x = cos x.

 

III/ Fonctions (10 points)

Partie A – Etude d’une fonction auxiliaire

Soit g la fonction définie sur R par : g(x) = x4 + 4x3 – 8x2 + 128.

1°) Calculer g’(x), en déduire les variations de g et dresser son tableau de variations. (On ne demande ni les limites, ni le tracé de la courbe)

2°) En déduire que g(x) ³ 0 sur R en ne s’annulant qu’une seule fois.

3°) Résoudre l’équation : g(x) = (x + 1)4. (On notera a et b les solutions dans la suite du problème)

Partie B – Etude de la fonction principale

Soit la fonction f définie sur R\{-1} par :

et Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormal.

1°) Déterminer les limites de f en –1, en –¥ et en +¥ .

En déduire une droite (d) asymptote à Cf.

2°) Démontrer que la droite (D ) d’équation y = x – 3 est une asymptote oblique à la courbe (Cf) en –¥ et en +¥ .

3°) Démontrer que f’(x) a le même signe que g(x) sur R\{-1}.

En déduire les variations de la fonction f et dresser son tableau de variations complet

4°) Déterminer une équation de la tangente à Cf au point d’abscisse 1.

5°) Démontrer qu’il existe exactement deux points de la courbe (Cf) d’abscisses a et b où la tangente est parallèle à la droite (D ).

6°) Recopier et compléter, à 10-2 près le tableau de valeurs suivant :

x

-8

-4

-3

-2

0

1

2

3

f(x)

               

7°) Tracer la courbe Cf (unité graphique 2 cm en abscisse et 1 cm en ordonnée) en utilisant au mieux tous les renseignements obtenus.

Formules : (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4.