DEVOIR n°3
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Mercredi 22 octobre 2003
 1°S3

DEVOIR de MATHEMATIQUES (2h)(Calculatrice autorisée)

 

I/ Composées.

Soient f la fonction définie sur R par : f(x) = x2 – 2x – 1

et g la fonction définie sur R\{4} par :

1°) Justifier, en utilisant les fonctions de références, que leurs tableaux de variations respectifs sont :

2°) a) Calculer l’image de 2 par la fonction f ainsi que le ou les antécédents de 4 par f.

b) Déterminer le ou les antécédents 1 par la fonction g.

3°) Déterminer les ensembles de définition des fonctions fog et gof.

4°) Déterminer, à partir des variations des fonctions f et g, les variations de la fonction fog sur chacun des intervalles suivants : I1 = ]-¥  ; 3], I2 = ]3 ; 4[ et I3 = ]4 ; +¥ [.

 

II/ Produit scalaire et angles.

Dans un repère orthonormal (O ;) (unité graphique : 1 cm), on note :

Les points A(4 ; -1), B(-2 ; 5) et C(-6 ; 2).

1°) Calculer le produit scalaire .

2°) Calculer les longueurs BA et BC.

3°) En déduire la valeur exacte de cos ABC puis une valeur approchée à 1° près de l’angle ABC.

 

III/ Cercles et droites.

Dans un repère orthonormal (O ;) (unité graphique : 1 cm), on note :

Les points A(-5 ;-5), B(1 ;-2) et (C) la courbe d’équation : x2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0.

1°) Démontrer que (C) est un cercle dont on déterminera les coordonnées du centre W et le rayon R.

(Faire une figure que l’on complétera dans la suite de l’exercice)

2°) Justifier que le point A se trouve à l’extérieur du cercle (C) et que B se trouve à l’intérieur.

3°) Déterminer une équation cartésienne de la droite (AB).

4°) Déterminer une équation de la droite (D ) passant par W ’(2 ;1) et de vecteur normal .

5°) Déterminer les coordonnées du point D, intersection des droites (AB) et (D ).

6°) Déterminer une équation cartésienne du cercle (C’) de centre W ’(2 ;1) et de rayon R’ = .

7°) Déterminer les points d’intersection de la droite (AB) avec chacun des deux cercles.

8°) Déterminer les points d’intersection du cercle (C) avec le cercle (C’).

Barème possible : I/ 7 pts - II/ 3 pts - III/ 10 pts

- Il sera tenu compte de la présentation et de la rédaction de la copie -