DEVOIR n°8
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Term S - Février 2003 –

ESIEE – Extrait des concours 2000 et 2001 (2h)
(Calculatrice interdite)

L’épreuve comporte 20 exercices indépendants, chaque exercice comportant 5 affirmations. Vous devez indiquer pour chacune d’elles si elle est vraie (V) ou fausse (F).

Toute réponse exacte rapporte un point, une réponse inexacte entraîne le retrait d’un point et l’absence de réponse ne rapporte ni ne retire aucun point.

Une bonification spéciale d’un point est ajoutée à chaque fois que plus de la moitié des réponses sont données à un exercice (c’est à dire 3, 4 ou 5 réponses données sur les 5 affirmations)

Une bonification supplémentaire d’un point est ajoutée à chaque fois qu’un exercice est traité correctement en entier (c’est à dire lorsque les réponses aux 5 affirmations sont exactes).

 

 

Question 1 (2000)

Pour tout nombre réel x, on a :

  1. 2x2x – 1 = (x – 1)
  2. x2 + 2x + 5 ³ 0
  3. 3 – 2xx2 ³ 0 si et seulement si xÎ [-3 ; 1]
  4. Si x ³ 1 alors 3 – 2xx2 £ 0
  5. Si x2 – 5x + 6 = 0 alors x ³ 0

 

Question 2 (2000)

Soit f la fonction définie sur ]-¥  ;-2]È [2 ;+¥ [ par

, Alors :

  1. f est dérivable sur ]-¥  ;-2[È ]2 ;+¥ [
  2. Pour tout x appartenant à l’ensemble de définition de f’,
  3. f est croissante sur ]2 ; +¥ [

 

Question 3 (2000)

Sept chevaux pénètrent au hasard et successivement sur la piste d’un cirque, trois chevaux sont blancs et les quatre autres sont noirs.

On note X la variable aléatoire égale au rang d’entrée du premier cheval noir. Alors :

  1. La probabilité que le premier cheval apparu soit blanc est
  2. La probabilité que les deux premiers chevaux apparus soient blancs est
  3. P(X = 2) =
  4. P(X = 4) =
  5. L’espérance mathématique de X est : E(X) =

 

Question 4 (2000)

Dans C, on considère l’équation (1) :

Cette équation admet deux solutions complexes notées z1 et z2. On a :

  1. Les solutions de l’équation : Z2 – 6Z + 13 = 0 sont 3 + 2i et 3 – 2i
  2. Les solutions de (1) sont complexes conjuguées
  3. Re(z1 + z2) = –5
  4. Im(z1 + z2) =
  5. 2(z1z2) = 3 – 2i ou 2(z1z2) = –3 + 2i

 

Question 5 (2000)

Soit p, q et r, trois nombres complexes. Dans le plan muni d’un repère orthonormal (O ; ), on note P, Q, R les points d’affixe respective p, q, r. On suppose que ces trois points sont non alignés. Alors :

  1. Si alors le triangle PQR est rectangle en Q
  2. Si est imaginaire pur alors le triangle PQR est rectangle en Q
  3. Si pq = i(rq) alors le triangle PQR est rectangle en Q
  4. Si pq = (rq) et rp = (qp) alors le triangle PQR est équilatéral
  5. Si p + q + r = 0 alors le triangle PQR est équilatéral

 

Question 6 (2001)

Pour tout q et a appartenant à on a :

  1. cos q = 2sin2q – 1

 

Question 7 (2001)

Le plan affine euclidien P est muni d’un repère orthonormal (O ;).

On note P* le plan P privé du point O.

Soit : tel que : z’ = ( désigne le conjugué de z)

  1. {MÎ P*, f(M) = M } est un cercle
  2. O, M et f(M) sont alignés
  3. Re(z’)Im(z) = Im(z’)Re(z)
  4. Soit D une droite passant par O, l’image par f de la droite D privée du point O est une droite passant par O privée de O
  5. Soit D une droite ne passant pas par O, l’image par f de la droite D est une droite ne passant pas par O

 

Question 8 (2001)

Le plan affine euclidien P est muni d’un repère orthonormal (O ;).

A tout point M de P on associe son affixe z. Soit I(-1), J(1) et K(i).

I’ est le point de P tel que le triangle KJI’ soit équilatéral et extérieur à IJK

J’ est le point de P tel que le triangle IKJ’ soit équilatéral et extérieur à IJK

K’ est le point de P tel que le triangle JIK’ soit équilatéral et extérieur à IJK

Alors :

  1. I’ a pour affixe 2 + i
  2. J’ a pour affixe –2 + i
  3. K’ a pour affixe –2i
  4. I’J’K’ est un triangle isocèle
  5. I’J’K’ est un triangle équilatéral

 

Question 9 (2001)

Cinq scientifiques Alex, Bob, Marc, Paul et Yves vont à cinq congrès, chacun dans une ville différente (Brest, Lorient, Nantes, Rennes et Vannes).

Sachant que :

  1. Si Alex va à Brest alors Bob va à Lorient ou Marc va à Nantes
  2. Si Paul ne va pas à Brest alors Marc ne va pas à Rennes et Alex ne va pas à Nantes
  3. Si Marc va à Nantes alors Bob va à Brest ou Paul va à Lorient
  4. Yves va à Vannes ou à Lorient

on peut en déduire que :

  1. Si Marc va à Rennes alors Paul va à Brest
  2. Si Alex va à Brest alors Yves va à Vannes
  3. Si Marc va à Nantes et Bob à Rennes alors Alex va à Brest
  4. Si Bob va à Rennes alors Marc ne va pas à Nantes
  5. Si Paul va à Vannes et Bob à Nantes alors Marc va à Brest

 

Question 10 (2001)

5 vaches ont brouté en 2 jours l’herbe d’un pré de 2 ares

11 vaches ont brouté en 5 jours l’herbe d’un pré de 8 ares

On suppose constantes :

la quantité b d’herbe broutée par vache et par jour

la quantité initiale h d’herbe par are

la quantité p d’herbe qui pousse par jour et par are

Alors

  1. 5b = h + 2p et 11b = 8h + 5p
  2. h = 6p
  3. b = p
  4. Un pré de 12 ares peut nourrir 15 vaches pendant 6 jours
  5. Un pré de 14 ares peut nourrir 16 vaches pendant 7 jours

 

Question 11 (2001)

Une pisciculture dispose de deux bassins B1 et B2 qui contiennent, chacun, des turbots et des soles. B1 contient 10 poissons et B2 contient 12 poissons. Le nombre total de soles est 8.

On choisit au hasard un bassin et on extrait un poisson au hasard. On a :

  1. Si la probabilité d’obtenir une sole provenant de B1 est 1/5 alors B1 contient 2 soles
  2. Si la probabilité d’obtenir un turbot provenant de B2 est 1/3 alors B2 contient 8 turbots
  3. Si la probabilité d’obtenir une sole sachant qu’elle provient de B2 est 1/3 alors B2 contient 4 soles
  4. La probabilité d’obtenir un turbot est 7/11
  5. Si B2 contient 4 soles alors la probabilité d’obtenir une sole est 11/30

Question 12 (2001)

Soit f une fonction définie sur [0 ;1], on considère les énoncés suivants :

P : " f n’est pas dérivable sur ]0 ;1[ "

Q : " Pour tout xÎ [0 ;1], f(x) ¹ x "

R : " f(0) = 0 et f(1) = 1 "

Alors :

  1. P signifie que : "  Pour tout x0Î ]0 ;1[, f n’est pas dérivable en x0 "
  2. Q signifie que : " Pour tout xÎ [0 ;1], f(x) > x ou pour tout xÎ [0 ;1], f(x) < x "
  3. R signifie que : " f est croissante sur [0 ;1] "
  4. La négation de Q est : "  Pour tout xÎ [0 ;1], f(x) = x "
  5. La négation de R est : " f(0) ¹ 0 et f(1) ¹ 1 "

 

Question 13 (2001)

 

Question 14 (2001)

Soit f une fonction définie et deux fois dérivables sur R. On note C la courbe de f dans un repère orthonormal. On note T la tangente à C au point I(0 ; f(0)).

Soit g la fonction définie sur R par : g(x) = f(x) – f(0) – x f’(0).

Alors :

  1. C est au dessus de T sur [-1 ;1] si et seulement si pour tout x Î [-1 ;1], g(x) ³ 0.
  2. Si g’ est croissante sur [-1 ;1] alors C est au-dessus de T sur [-1 ;1]
  3. Si g’ est décroissante sur [-1 ;1] alors C est en dessous de T sur [-1 ;1]
  4. Si g’’ est positive sur [-1 ;1] alors C est au-dessus de T sur [-1 ;1]
  5. Si g’’ est négative sur [-1 ;1] alors C est en dessous de T sur [-1 ;1]

 

Question 15 (2001)

  1. Pour tout xÎ R\{0}, ln(2x) = x ln 2
  2. Pour tout xÎ ]0 ;+¥ [, ln x = 2 ln
  3. Pour tout xÎ ]0 ;+¥ [,
  4. Pour tout xÎ ]0 ;+¥ [, ln(x2 + 4x + 4) = 2 ln(x + 2)
  5. Pour tout xÎ ]0 ;+¥ [, [ln(x + 1)]2 = ln(2x + 2)

 

Question 16 (2001)

Soit f une fonction définie et dérivable sur [-4 ; +¥ [

dont la représentation graphique est donnée ci-contre :

On précise que

pour tout xÎ [3 ; +¥ [, f(x) > 0

la droite y = 0 est asymptote à la courbe de f en +¥

Alors :

  1. L’équation f’(x) = 0 admet au moins trois solutions sur [-4 ; +¥ [
  2. f’ change de signe en x = 1
  3. {xÎ [-4 ; 6], f(x) > x} est un intervalle
  4. Pour tout aÎ [0 ; +¥ [ l’équation f(x) = a admet au moins une solution dans [-4 ; 6]
  5. Il existe deux réels a et b tels que a ¹ b et f (a) = f(b)

 

Question 17 (2001)

Soit f une fonction définie et dérivable sur R\{1} dont le tableau de variations est :

Alors :

  1. Pour tout aÎ R l’équation f(x) = a admet au moins une solution
  2. Pour tout aÎ ]-¥  ; 0[ l’équation f(x) = a admet exactement une solution
  3. La courbe de f admet deux asymptotes horizontales
  4. L’équation f’(x) = 0 admet au moins une solution
  5. Pour tout xÎ ]3 ; +¥ [ f’(x) < 0

 

Question 18 (2001)

Soit f la fonction définie sur R\{0} par : f(x) = x2 + 1 – 2 ln |x|

Alors :

  1. f est paire
  2. Pour tout xÎ ]-¥  ; 0[, f’(x) = 2x +
  3. f est décroissante sur ]-¥  ; -1[
  4. f a un minimum local en x = 1

 

Question 19 (2001)

Soit f et g les fonctions définies sur R par :

et

Alors :

  1. g est impaire
  2. Pour tout xÎ R, g(x) = –f(–x)
  3. Pour tout xÎ R, g(x) + f(x) > 0
  4. Pour tout xÎ R, f(x)2g(x)2 = 1
  5. Pour tout xÎ R, 2 f(x) g(x) = g(2x)

 

Question 20 (2001)

Soit la suite réelle (un) définie par u0Î ]1 ; +¥ [ et la relation de récurrence : pour tout nÎ N, un+1 =

Alors :

  1. (un) est monotone
  2. (un) est minorée par 1
  3. Si u0Î ]1 ; 2[, (un) converge vers 1
  4. Si u0Î ]1 ; 2[, (un) converge vers 2
  5. Si u0Î ]2 ; +¥ [, (un) converge vers 2