DEVOIR n°4
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Vendredi 8 novembre 2002
 Term S1-2

DEVOIR de Mathématiques (2 h.)
(Calculatrice autorisée)

I/ Suite de nombres complexes.

Le plan complexe est muni d’un repère (O; ) orthonormal direct (unité graphique : 4 cm).

A0 est le point d’affixe 2. Pour tout entier naturel n, si An est un point d’affixe zn , on désigne par A’n le point d’affixe izn et par An+1 le milieu de [AnA’n].

On note r n et q n le module et un argument de zn.

1°) Placer les points A0, A1, A2, A3, A4, A5.

2°) a) Démontrer que pour tout entier naturel n :

b) En déduire que la suite (r n) est géométrique et que la suite (q n) est arithmétique.

Préciser leur premier terme et leur raison.

c) Exprimer r n et q n en fonction de n.

d) Déterminer la limite de la suite (r n). Interpréter géométriquement ce résultat.

e) Pour quelles valeurs de n, les points O, A0 et An sont-ils alignés ?

3°) a) Démontrer que pour tout n ³ 1, AnAn+1 = An-1An.

b) Exprimer en fonction de n la longueur Ln de la ligne brisée A0A1…An puis déterminer sa limite.

 

II/ Fonction irrationnelle.

Partie A

1°) Montrer que pour tout xÎ ]0; +¥ [ :

2°) Montrer que pour tout xÎ ]-¥ ; -4[ :

3°) Résoudre dans ]-4; 0[ l’inéquation suivante :

Partie B

Soit f la fonction définie sur R par : et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O; (unité graphique : 2 cm)

1°) Déterminer le signe de x2 + 4x en fonction de x et en déduire les expressions de f(x) suivant les valeurs de x.

2°) Calculer les limites de f en -¥ et en +¥ . En déduire que la courbe (C) admet une asymptote horizontale que l’on précisera.

3°) Montrer que la droite (D ) d’équation y = 2x + 3 est asymptote à la courbe (C).

4°) f est-elle dérivable en 0 ? en -4 ?

5°) Déterminer l’expression de f’(x) pour xÎ ]-¥ ; -4[È ]0; +¥ [ puis pour xÎ ]-4; 0[.

6°) Déterminer les variations de f et dresser son tableau de variations complet.

7°) Tracer les asymptotes puis la courbe (C).

 

Barème possible : I/ 8 pts - II/ 12 pts