écrivez-moi pour me faire part de vos remarques.

Vendredi 25 avril 2003
 Term S

Mathématiques (4h)
(Calculatrice autorisée)

On dispose de deux dés cubiques d’apparences identiques : l’un est parfait et l’autre est truqué. Pour le dé truqué, la probabilité d’obtenir un six est égale à .

Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.

1°) a) On lance le dé parfait 3 fois de suite. On suppose les 3 lancers indépendants. Calculer la probabilité d’obtenir exactement deux six.

b) On lance le dé truqué 3 fois de suite. On suppose les 3 lancers indépendants. Calculer la probabilité d’obtenir exactement deux six.

2°) On choisit l’un des deux dés précédents au hasard (les deux dés ont donc la même probabilité d’être choisis) et on lance ce dé 3 fois de suite. On suppose les 3 lancers indépendants.

On désigne par T, l’événement : " choisir le dé truqué ",

par , l’événement contraire de T,

par A, l’événement : " choisir le dé parfait et obtenir exactement deux six ",

par B, l’événement : " choisir le dé truqué et obtenir exactement deux six ",

par C l’événement : " obtenir exactement deux six ".

On pourra admettre que la réponse au 1.a. est et que la réponse au 1.b. est .

1. Calculer la probabilité de l’événement A puis celle de l’événement B.
2. En déduire la probabilité de l’événement C.
3. Déterminer la probabilité d’avoir choisi le dé truqué, sachant qu’on a obtenu exactement deux six.

Dans le plan orienté, une unité étant choisie, on considère un rectangle ABCD tels que AB = , AD = 1 ; () est un angle droit direct ;

I désigne le milieu de [AB].

Faire une figure que l’on complétera au fur et à mesure.

Le plan est rapporté au repère orthonormal direct (A ;) avec et .

Soit S une similitude directe qui, au point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ telle que z’ = az + b, a et b étant des nombres complexes avec a ¹ 0.

1°) Déterminer les nombres a et b pour que S(D) = C et S(C) = B.

2°) Soit T la similitude directe qui, au point M d’affixe z, associe le point M’ d’affixe z’ telle que :

.

Déterminer le rapport et l’angle de T.

3°) Montrer que la similitude T transforme B en I.

4°) En déduire que les droites (BD) et (CI) sont perpendiculaires.

5°) Montrer que le centre W de la similitude T est le point d’intersection des droites (BD) et (CI).

Soit (E) l’ensemble des points M du plan tels que MD² – MB² = 1.

1°) Vérifier que les points C et I appartiennent à (E).

2°) a) Démontrer que pour tout point M du plan MD² – MB² = 2 où J est un point que l’on précisera.

b) Déterminer l’ensemble (E).

c) En déduire une autre justification de l’orthogonalité des droites (BD) et (CI).

z et z’ sont deux nombres complexes et on pose :

j (z, z’) =

et désignent les conjugués respectifs de z et z’. Le plan est muni d’un repère orthonormal direct (O ;) (unité graphique 2 cm).

1°) Calculer : j (i, 3) ; j (1 + 2i, –2 + i) ; j (2 + i, –3 + 2i) ; .

Montrer que pour tout coupe (z, z’) le nombre j (z, z’) est réel.

2°) a) On pose z = x + iy et z’ = x’ + iy’ ; x, y, x’, y’ réels.

Calculer j (z, z’) en fonction de x, y, x’, y’.

b) Déterminer l’ensemble D des points M d’affixe z tels que :

j (z, 1 + i) = 2.

Dessiner D dans le repère (O ;).

3°) a) On pose z = re^iq et z’ = r’e^{iq ’} ; q et q ’ réels, r et r’ réels positifs. Calculer j (z, z’) en fonction de r, r’ et cos(q – q ’).

b) Exprimer j (z, z) en fonction de r. Déterminer l’ensemble C des points M d’affixe z tels que : j (z, z) = 2.

Dessiner C dans le repère (O ;). Que peut-on dire de la position relative de C et D ? Justifier la réponse.

1°) Résoudre l’équation différentielle (2) : y’ – 2y = 0, où y désigne une fonction dérivable sur R.

2°) Soient a et b deux réels et soit u la fonction définie sur R par :

u(x) = (ax + b)e^x.

1. Déterminer a et b pour que u soit solution de l’équation (1).
2. Montrer que v est une solution de l’équation (2) si et seulement si u+ v est solution de (1)
3. En déduire l’ensemble des solutions de (1).

3°) Déterminer la solution de l’équation (1) qui s’annule en 0.

Soit g la fonction définie sur R par : g(x) = 2e^x – x – 2.

1°) Déterminer la limite de g en –¥ et la limite de g en +¥ .

2°) Etudier le sens de variation de g, puis dresser son tableau de variation.

3°) On admet que l’équation g(x) = 0 admet exactement deux solutions réelles.

1. Vérifier que 0 est l’une de ces solutions.
2. L’autre solution est appelée a . Montrer que –1,6 £ a £ –1,5.

4°) Déterminer le signe de g(x) suivant les valeurs du réel x.

Soit f la fonction définie sur R par : f(x) = e^2x – (x + 1)e^x.

1°) Déterminer la limite de f en –¥ et la limite de f en +¥ .

(On pourra mettre e^2x en facteur).

2°) Calculer f’(x) et montrer que f’(x) et g(x) ont le même signe.

Etudier le sens de variation de f.

3°) Montrer que , où a est défini dans la partie B.

En déduire un encadrement de f(a ) (On rappelle –1,6 £ a £ –1,5)

4°) Etablir le tableau de variation de f.

5°) Tracer la courbe (C), représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormal (unité graphique 2 cm).

1°) Soit m un réel négatif. Interpréter graphiquement l’intégrale . (On justifiera la réponse).

2°) a) Calculer à l’aide d’une intégration par parties.

b) En déduire .

3°) Calculer la limite de , lorsque m tend vers –¥ .