BAC BLANC II
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Vendredi 25 avril 2003
 Term S

Bac Blanc II

Mathématiques (4h)
(Calculatrice autorisée)

Exercice pour tous (4 points)

On dispose de deux dés cubiques d’apparences identiques : l’un est parfait et l’autre est truqué. Pour le dé truqué, la probabilité d’obtenir un six est égale à .

Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.

1°) a) On lance le dé parfait 3 fois de suite. On suppose les 3 lancers indépendants. Calculer la probabilité d’obtenir exactement deux six.

b) On lance le dé truqué 3 fois de suite. On suppose les 3 lancers indépendants. Calculer la probabilité d’obtenir exactement deux six.

2°) On choisit l’un des deux dés précédents au hasard (les deux dés ont donc la même probabilité d’être choisis) et on lance ce dé 3 fois de suite. On suppose les 3 lancers indépendants.

On désigne par T, l’événement : " choisir le dé truqué ",

par , l’événement contraire de T,

par A, l’événement : " choisir le dé parfait et obtenir exactement deux six ",

par B, l’événement : " choisir le dé truqué et obtenir exactement deux six ",

par C l’événement : " obtenir exactement deux six ".

On pourra admettre que la réponse au 1.a. est et que la réponse au 1.b. est .

  1. Calculer la probabilité de l’événement A puis celle de l’événement B.
  2. En déduire la probabilité de l’événement C.
  3. Déterminer la probabilité d’avoir choisi le dé truqué, sachant qu’on a obtenu exactement deux six.

 

Exercice pour les spécialités Mathématiques (5 points)

Dans le plan orienté, une unité étant choisie, on considère un rectangle ABCD tels que AB = , AD = 1 ; () est un angle droit direct ;

I désigne le milieu de [AB].

Faire une figure que l’on complétera au fur et à mesure.

Partie A

Le plan est rapporté au repère orthonormal direct (A ;) avec et .

Soit S une similitude directe qui, au point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ telle que z’ = az + b, a et b étant des nombres complexes avec a ¹ 0.

1°) Déterminer les nombres a et b pour que S(D) = C et S(C) = B.

2°) Soit T la similitude directe qui, au point M d’affixe z, associe le point M’ d’affixe z’ telle que :

.

Déterminer le rapport et l’angle de T.

3°) Montrer que la similitude T transforme B en I.

4°) En déduire que les droites (BD) et (CI) sont perpendiculaires.

5°) Montrer que le centre W de la similitude T est le point d’intersection des droites (BD) et (CI).

Partie B

Soit (E) l’ensemble des points M du plan tels que MD2 – MB2 = 1.

1°) Vérifier que les points C et I appartiennent à (E).

2°) a) Démontrer que pour tout point M du plan MD2 – MB2 = 2 où J est un point que l’on précisera.

b) Déterminer l’ensemble (E).

c) En déduire une autre justification de l’orthogonalité des droites (BD) et (CI).

 

Exercice pour les spécialités Physique ou S.V.T. (5 points)

z et z’ sont deux nombres complexes et on pose :

j (z, z’) =

et désignent les conjugués respectifs de z et z’. Le plan est muni d’un repère orthonormal direct (O ;) (unité graphique 2 cm).

1°) Calculer : j (i, 3) ; j (1 + 2i, –2 + i) ; j (2 + i, –3 + 2i) ; .

Montrer que pour tout coupe (z, z’) le nombre j (z, z’) est réel.

2°) a) On pose z = x + iy et z’ = x’ + iy’ ; x, y, x’, y’ réels.

Calculer j (z, z’) en fonction de x, y, x’, y’.

b) Déterminer l’ensemble D des points M d’affixe z tels que :

j (z, 1 + i) = 2.

Dessiner D dans le repère (O ;).

3°) a) On pose z = reiq et z’ = r’eiq  ; q et q ’ réels, r et r’ réels positifs. Calculer j (z, z’) en fonction de r, r’ et cos(qq ’).

b) Exprimer j (z, z) en fonction de r. Déterminer l’ensemble C des points M d’affixe z tels que : j (z, z) = 2.

Dessiner C dans le repère (O ;). Que peut-on dire de la position relative de C et D ? Justifier la réponse.

 

Problème pour tous (11 points)

Partie A – Résolution de l’équation différentielle (1) : y’ – 2y = xex

1°) Résoudre l’équation différentielle (2) : y’ – 2y = 0, où y désigne une fonction dérivable sur R.

2°) Soient a et b deux réels et soit u la fonction définie sur R par :

u(x) = (ax + b)ex.

  1. Déterminer a et b pour que u soit solution de l’équation (1).
  2. Montrer que v est une solution de l’équation (2) si et seulement si u+ v est solution de (1)
  3. En déduire l’ensemble des solutions de (1).

3°) Déterminer la solution de l’équation (1) qui s’annule en 0.

Partie B – Etude d’une fonction auxiliaire

Soit g la fonction définie sur R par : g(x) = 2exx – 2.

1°) Déterminer la limite de g en –¥ et la limite de g en +¥ .

2°) Etudier le sens de variation de g, puis dresser son tableau de variation.

3°) On admet que l’équation g(x) = 0 admet exactement deux solutions réelles.

  1. Vérifier que 0 est l’une de ces solutions.
  2. L’autre solution est appelée a . Montrer que –1,6 £ a £ –1,5.

4°) Déterminer le signe de g(x) suivant les valeurs du réel x.

Partie C – Etude de la fonction principale

Soit f la fonction définie sur R par : f(x) = e2x – (x + 1)ex.

1°) Déterminer la limite de f en –¥ et la limite de f en +¥ .

(On pourra mettre e2x en facteur).

2°) Calculer f’(x) et montrer que f’(x) et g(x) ont le même signe.

Etudier le sens de variation de f.

3°) Montrer que , où a est défini dans la partie B.

En déduire un encadrement de f(a ) (On rappelle –1,6 £ a £ –1,5)

4°) Etablir le tableau de variation de f.

5°) Tracer la courbe (C), représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormal (unité graphique 2 cm).

Partie D – Calcul d’aire

1°) Soit m un réel négatif. Interpréter graphiquement l’intégrale . (On justifiera la réponse).

2°) a) Calculer à l’aide d’une intégration par parties.

b) En déduire .

3°) Calculer la limite de , lorsque m tend vers –¥ .