BAC BLANC I
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Décembre 2002
 Term S

Bac Blanc 1

Épreuve de Mathématiques (4 h.)
(Calculatrice autorisée)

Exercice 1. (5 points)

 

1°) on considère le polynôme P de la variable complexe z, défini par :

P(z) = z3 + (14 – i)z2 + (74 – 14 i)z – 74i

 

  1. Déterminer le nombre réel y tel que iy soit solution de l’équation P(z) = 0.
  2. Trouver deux nombres réels a et b tels que, pour tout nombre complexe z, on ait :
  3. P(z) = (z - i)(z2 + az + b)

  4. Résoudre dans l’ensemble C des nombres complexes, l’équation P(z) = 0.

 

2°) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O;).

On prendra 1 cm pour unité graphique.

  1. Placer les points A, B e I d’affixes respectives zA = -7 + 5i; zB = -7 – 5i et zI = i.
  2. Déterminer l’affixe de l’image du point I par la rotation de centre O et d’angle .
  3. Placer le point C d’affixe zC = 1 + i. Déterminer l’affixe du point N tel que ABCN soit un parallélogramme.
  4. Placer le point D d’affixe zD = 1 + 11i.
    Calculer sous forme algébrique puis sous forme trigonométrique. Justifier que les droites (AC) et (BD) sont perpendiculaires et en déduire la nature du quadrilatère ABCD.

 

 

 

Exercice 2. (Spécialité SVT ou Spécialité Physique)

 

On considère la suite de terme général Un telle que :

U1 = et , nÎ N*

1°) Montrer que pour tout n, Un > 0.

2°) Résoudre dans R l’équation :

Que peut-on en déduire ?

3°) Montrer que .

En déduire que, pour tout n, Un > .

4°) Montrer que

En déduire que, pour tout n,

(on pourra faire une démonstration par récurrence).

5°) (Un) admet-elle une limite quand n tend vers +¥ ? Si oui, la calculer.

 

 

Exercice 2. (Spécialité Mathématiques)

 

Pour tout entier naturel n, on considère les nombres : an = 4 ´ 10n – 1, bn = 2 ´ 10n – 1 et cn = 2 ´ 10n + 1.

 

1°) a) Calculer a1, b1, c1, a2, b2, c2, a3, b3 et c3.

b) Combien les écritures décimales des nombres an et cn ont-elles de chiffres ? Montrer que nombres an et cn sont divisibles par 3.

c) Montrer, en utilisant la liste des nombres premiers inférieurs à 100 donnée ci-dessous, que b3 est premier.

d) Montrer que, pour tout entier naturel non nul n,

bn ´ cn = a2n.

En déduire la décomposition en produit de facteurs premiers de a6.

e) Montrer que PGCD (bn, cn) = PGCD (cn, 2). En déduire que bn et cn sont premiers entre eux.

 

2°) On considère l’équation (E) : b3x + c3y = 1

d’inconnues les entiers relatifs x et y.

a) Justifier le fait que (E) possède au moins une solution.

b) Appliquer l’algorithme d’Euclide aux nombres c3 et b3; en déduire une solution particulière de (E).

c) Résoudre l’équation (E)

 

Liste des nombres premiers inférieurs à 100 :

2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47; 53; 59; 61; 67; 71; 73; 79; 83; 89; 97.

 

 

Problème. (10 points)

 

Partie A

 

Soit l’équation différentielle : y’ + 2y = 4e1–2x (E)

1°) Démontrer que la fonction u définie sur R par u(x) = 4xe1–2x est une solution particulière de (E).

2°) Résoudre l’équation différentielle : y’ + 2y = 0 (E0)

3°) Démontrer qu’une fonction v définie sur R est solution de (E) si et seulement si vu est solution de (E0).

4°) En déduire toutes les solutions v de l’équation (E).

5°) Déterminer la fonction v0, solution de (E), qui prend la valeur -2e en 0.

 

Partie B

 

Soit f la fonction définie sur R par : f(x) = 2(2x – 1)e1–2x.

1°) Étudier les limites de f en -¥ et en +¥ et en déduire que la courbe Cf dans un repère orthonormal (O ;) admet une asymptote horizontale.

2°) Étudier les variations de f puis dresser son tableau de variation complet.

3°) Justifier que l’équation f(x) = -1 admet une unique solution a sur R et donner une valeur approchée de a à 10-2.

4°) Déterminer une équation de la tangente à Cf au point d’abscisse 3/2.

5°) Déterminer une équation de la tangente au point d’intersection de Cf avec l’axe des abscisses.

6°) Tracer la courbe Cf et les tangentes déterminées précédemment.

(unité : 2 cm sur chaque axe).

 

Partie C

 

Soit y = g (x) l’équation réduite de la tangente T à Cf au point d’abscisse a.

On note j (x) = f(x) – g(x).

1°) a) Exprimer j (x) en fonction de f’(x) et f’(a).

b) Montrer que : j ’’(x) = f’’(x).

2°) Résoudre f’’(x) = 0.

3°) Dans cette question, on pose : a = 3/2.

  1. Déterminer les variations de j et en déduire le signe de j (x).
  2. Déterminer les variations de j et en déduire le signe de j (x).
  3. Déterminer la position de Cf par rapport à sa tangente T.