DEVOIR n°10
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mai 2003
 1èreS

DEVOIR de Mathématiques (3h)
(Calculatrice autorisée)

Exercice 1

ABC est un triangle, on note a , b , g les mesures en radians des angles , et et on pose a = BC, b = CA, c = AB.

1°) a) Démontrer que :

b) En déduire que : c = a.cos b + b.cos a .

2°) Dans cette question, on suppose que b = 2a .

  1. Démontrer que 0 < a <
  2. En utilisant la formule des sinus :, démontrer que .
  3. En déduire que : b2a2 = ac.

 

Exercice 2

ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 4 et AC = 3. Soit I le milieu de [AB] et J celui de [IC].

Soit (E) l’ensemble des points M du plan tels que : MA2 + MB2 + 2MC2 = 66.

On se propose de déterminer la nature de l’ensemble (E) de deux façons.

1ère méthode

1°) Montrer que BÎ (E).

2°) En utilisant deux fois le théorème de la médiane, démonter que :

MÎ (E) si et seulement si : 4MJ2 + AB2 + IC2 = 66.

3°) En déduire la nature et les éléments caractéristique de (E) et le représenter.

2ème méthode

On utilise le repère orthonormal .

1°) Déterminer une équation de (E) dans ce repère.

2°) Retrouver le résultat de la première méthode.

 

Exercice 3

On définit les suites (un) et (vn) par :

u0 = 1, v0 = 12 et pour tout entier n, et

1°) On pose, pour tout entier n, wn = vnun.

  1. Démontrer que (wn) est une suite géométrique.
  2. Exprimer wn en fonction de n et déterminer sa limite.

2°) a) Exprimer un+1un en fonction de wn, en déduire le sens de variation de la suite (un).

b) Déterminer le sens de variation de la suite (vn).

3°) On pose, pour tout entier n, tn = 3un + 8vn. Montrer que (tn) est une suite constante que l’on précisera.

4°) A l’aide des résultats des questions 1 et 3, et en résolvant un système d’équations, déterminer l’expression de un et de vn en fonction de n.

5°) Déterminer la limite de ces deux suites.

 

Exercice 4

On a représenté ci-dessous une sphère de rayon 1 et C un cône de hauteur h et de rayon r, circonscrit à la sphère.

Les points A, O, I, H et J sont coplanaires, les droites (OI) et (AJ) sont perpendiculaires, de même que les droites (HJ) et (AH).

1°) Justifier que h > 2.

2°) a) Démontrer que (on pourra utiliser des triangles semblables ou un calcul de tangente dans deux triangles rectangles)

b) Soit V(h) le volume du cône. Exprimer V(h) en fonction de h.

3°) Soit f la fonction définie sur I = ]2 ; +¥ [ par :

et Cf sa représentation graphique dans un repère orthonormal (O ;)

  1. Démontrer que, pour tout x de l’intervalle I, f(x) peut s’écrire sous la forme :
    f(x) = ax + b + , où a, b et c sont trois réels que l’on déterminera.
  2. Etudier les limites de f aux bornes de I.
  3. Démontrer que Cf possède deux asymptotes (d) et (d’) (préciser une équation de chacune d’elles).
  4. Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation.
  5. En déduire que f possède sur I un minimum.
  6. Tracer Cf.

4°) En utilisant les résultats des questions précédentes, déterminer la valeur de h pour laquelle le volume V(h) du cône est minimal.

 

Barème possible :

Ex 1 : 3 points - Ex 2 : 4,5 points - Ex 3 : 5,5 points - Ex 4 : 7 points