DEVOIR n°6
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Janvier 2002
 1èreS1-2-3

DEVOIR de Mathématiques (3h)
(Calculatrice autorisée)

 

Exercice 1

Soit ABCD un trapèze rectangle en A de bases (AD) et (BC).

Soit O le milieu de [AB], on pose AB = 2a, AD = b et BC = c.

1°) Exprimer en fonction de a, b et c.

2°) Quelle relation doit lier a, b et c pour que la droite(OD) soit orthogonale à la droite (OC) ?

3°) Soit AB = 4 cm, BC = 6 cm et AD = 4 cm.

  1. Calculer , OD et OC. En déduire COD en degrés.
  2. Calculer CD. Que peut-on en déduire ?
  3. Calculer l’aire du triangle OCD.

 

Exercice 2

Soit a et b deux réels appartenant à tels que : sin a cos b = et sin b cos a = .

1°) a) Calculer sin(a + b)

b) Montrer que a + b Î [0 ; p ], en déduire a + b.

2°) a) Calculer sin(ab)

b) Montrer que ab Î , en déduire ab.

3°) En déduire a et b.

 

Exercice 3

Le plan est muni d’un repère orthonormal (O ;)

(On fera une figure en prenant 2 cm pour unité graphique)

1°) Démontrer que l’équation x2 + y2 + 4x – 2y = 0 est l’équation d’un cercle C1 dont on précisera le centre W et le rayon.

2°) On donne les points A(0 ;2) et B(1 ;0). Déterminer une équation cartésienne du cercle C2 de diamètre [AB].

3°) Démontrer que les cercles C1 et C2 se coupent en deux points dont on donnera les coordonnées.

4°) Ecrire une équation cartésienne de la droite D1 tangente à C1 en A et de la droite D2 tangente en A à C2. Démontrer que les droites D1 et D2 sont orthogonales.

 

Exercice 4

Soit la fonction f définie sur [-2 ; 5] par : f(x) = x3 – 6x2 + 10 et (C) sa courbe représentative.

1°) Déterminer la fonction dérivée de f.

2°) En déduire le sens de variation de f et dresser son tableau de variations.

3°) Déterminer l’équation de la tangente (T) à la courbe (C) au point d’abscisse x = 2.

4°) a) Démontrer que f(x) – (-12x + 18) = (x – 2)3.

b) En déduire la position de la courbe (C) par rapport à sa tangente (T).

5°) Déterminer les coordonnées des points de (C) où la tangente est parallèle à la droite (D) d’équation y = -9x.

6°) Construire (C) et les tangentes particulières (unité : = 1 cm et = 0,25 cm)

 

Barème possible :

Ex 1 : 5 points - Ex 2 : 3 points - Ex 3 : 5 points - Ex 4 : 7 points