DEVOIR n°5
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Mercredi 11 décembre
 1°S3

DEVOIR DE MATHEMATIQUES (2h)
(Calculatrice interdite)

 

Exercice 1

1°) Soient f la fonction définie sur R par : et Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormal.

  1. Reconnaître la famille de courbe dont Cf fait partie et déterminer les coordonnées de son sommet S. (On pourra écrire la forme canonique de f(x))
  2. Dresser le tableau de variations de la fonction f.
  3. Tracer Cf dans un repère orthonormal (unité graphique : 2 cm)

2°) Soit g la fonction définie sur R\{3} par : et Cg sa courbe représentative dans un repère orthonormal.

  1. Déterminer les réels a et b tels que pour tout x ¹ 3,
  2. En déduire que Cg est l’image d’une courbe de référence par une translation que l’on déterminera.
  1. Dresser le tableau de variations de la fonction g.
  2. Tracer Cg dans le repère précédent.

3°) Déterminer les fonctions dérivées des fonctions f et g.

4°) Déterminer l’équation de la tangente à la courbe Cf au point d’abscisse 1 et l’équation de la tangente à la courbe Cg au point d’abscisse 2 et les tracer.

 

Exercice 2

1°) Résoudre le système suivant :

2°) On a représenté ci-contre la courbe (C) représentative d’une fonction polynôme f du troisième degré et sa tangente (T) à l’origine

  1. La courbe (C) passe par les points O et A(2 ;1), en déduire f(0) et f(2).
  2. Lire graphiquement une équation de (T), en déduire f’(0).
  3. On sait de plus que la courbe (C) admet une tangente horizontale en A, en déduire f’(2).

3°) Sachant que f a une équation de la forme : f(x) = ax3 + bx2 + cx + :

  1. Calculer f’(x).
  2. A l’aide des informations précédentes, écrire un système d’équations vérifiées par a, b, c et d.
  3. En déduire l’expression de f(x).

4°) Déterminer les coordonnées du deuxième point de la courbe où (C) admet une tangente horizontale.

 

Exercice 3

Soient A, B, C et D quatre points du plan tels que :

, et

Déterminer la mesure principale de l’angle .

Que peut-on en déduire pour le triangle BCD ?

(la figure n’est pas demandée)

 

Exercice 4

1°) Rappeler les formules du cours relatives à cos(px), sin(px), cos(a + b) et sin(a + b).

2°) En utilisant les valeurs des sinus et cosinus de et et les formules précédentes, en déduire les valeurs de :

, , et .

 

Barème possible :

Exercice 1 : 7 pointsExercice 2 : 6 pointsExercice 3 : 3 pointsExercice 4 : 4 points