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Mardi 17 septembre 1°S

DEVOIR COMMUN DE MATHEMATIQUES (2h)
(Calculatrice interdite)

Exercice 1

On pose P(x) = 4(x + 2)2 – (x – 2)2.

1°) Factoriser P(x).

2°) Résoudre dans R les équations et inéquations suivantes :

  1. P(x) = 0.
  2. P(x) > 0.

 

Exercice 2

Soit f la fonction définie sur [-3 ; +¥ [ par :

1°) Calculer les images par f de , , 0 et 1

2°) Déterminer le (ou les) antécédent(s) par f de (-1).

3°) Démontrer que f(x) peut aussi s’écrire : .

4°) Démontrer que f est croissante sur [-3 ; +¥ [

5°) a) Démontrer que f admet un minimum, le préciser.

b) Démontrer que f admet un majorant, en préciser un.

c) En déduire que f est bornée et indiquer un encadrement de f(x).

 

Exercice 3

1°) Résoudre dans R, l’inéquation :

2°) Soit ABCD un rectangle tel que AB = 6 et BC = 4 (en centimètres).Soit M un point du segment [AB] distinct de A et B. La droite (DM) coupe la droite (BC) en N. On pose AM = x.

a) Quelles sont les valeurs possibles pour x ?

b) Calculer la longueur BN en fonction de x.

c) Déterminer les valeurs de x pour lesquelles on a : BN £ 1.

 

Exercice 4

Soit un triangle ABC et les points: I milieu de [AB],

J tel que vect(JC) = vect(AC),

K symétrique de B par rapport à C.

Faire une figure soignée.

 

1°) Géométrie vectorielle.

a) Exprimer les vecteurs JK et IK en fonction des vecteurs AC et BC.

b) En déduire que les points I, J et K sont alignés.

 

2°) Géométrie analytique.

On se place maintenant dans le repère (A,AB,AC).

a) Déterminer les coordonnées des points A, B, C, I, J et K définis précédemment (Justifier).

b) Déterminer une équation de la droite (IJ).

c) Vérifier que le point K appartient à la droite (IJ).