DEVOIR n°8
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Mai 2002
 1ère S

Devoir commun de Mathématiques (3 h)
(Calculatrice autorisée)

 

Exercice 1

L’espace est muni d’un repère orthonormal (O ;). On considère les points A(1 ;2 ;3), B(-1 ; 3 ; 5), C(-1 ; 3 ; 2) et D(1 ; 5 ; 3).

1°) Calculer les longueurs AB, BC, CD et AD.

ABCD est-il un losange ?

2°) Déterminer les coordonnées du milieu I de [BD] et calculer IA et IC.

I est-il le milieu de [AC] ?

 

Exercice 2

La population d’une ville nouvelle est donnée par la formule :

t est le temps écoulé depuis 1970 (exprimé en années) et P(t) est le nombre d’habitants (exprimé en milliers).

On se propose d’étudier l’évolution de cette population.

A. Etude de fonction.

Soit f définie sur R par :

1°) a) Calculer f’(x) et étudier son signe.

b) En déduire le sens de variation de f sur R (on précisera les extremum).

2°) Etudier les limites de f en +¥ et en –¥ . En donner une interprétation graphique.

B. Etude de la population.

1°) Préciser le réel k tel que P(t) = k.f(t), pour tÎ [0 ;+¥ [.

2°) a) Déduire de la partie A, le tableau complet des variations de P sur [0 ;+¥ [.

b) En déduire l’année pour laquelle la population de cette ville sera maximale.

c) Interpréter par une phrase la limite de P en +¥ .

3°) On rappelle que le rythme de croissance d’une population P(t) est assimilé à la dérivée de la fonction P par rapport au temps t.

Calculer le rythme de croissance de cette population en 1980 et celui à prévoir en 2040.

4°) Représenter cette population dans un repère orthonormal bien choisi (on fera apparaître tous les résultats obtenus aux questions précédentes).

 

Exercice 3

Un jardinier amateur tond sa pelouse tous les samedis, et recueille à chaque fois 120 litres de gazon coupé qu’il stocke dans un bac à compost de 300 litres.

Chaque semaine, les matières stockées perdent par décomposition, ou prélèvement, les trois quarts de leur volume.

On appelle Vn le volume en litres stocké le n-ième samedi de tonte. On a donc : V1 = 120.

1°) Montrer que Vn+1 = 120 + Vn.

Cette suite est-elle arithmétique ? géométrique ?

2°) On définit, pour tout entier n ³ 1, le nombre tn par tn = 160 – Vn.

Démontrer que la suite (tn) est géométrique, et préciser son premier terme et sa raison.

3°) a) Exprimer tn en fonction de n et en déduire le terme général de la suite (Vn).

b) Montrer que la suite (Vn) est majorée par 160.

c) La suite (Vn) est-elle convergente ? Si oui, préciser alors sa limite.

4°) Les conditions restant les mêmes, le bac de stockage sera-t-il un jour rempli ?

 

Exercice 4

On a relevé les températures dans deux villes de France le premier jour de chaque mois pendant une année. Le tableau ci-dessous indique la liste des températures observées, exprimées en degrés Celsius.

1°) a) Calculer la température moyenne et l’écart type des deux séries de températures.

b) Les valeurs des écarts types obtenus vous semblent-elles confirmer l’impression donnée par le tableau ?

2°) Représenter sur un même graphique les diagrammes à moustaches associés aux deux séries de températures. L’observation de ces diagrammes confirme-t-elle les constatations de la question 1 ?

3°) Semble-t-il raisonnable de penser que l’une des villes a un climat plutôt océanique et l’autre un climat plutôt continental ?

4°) Si le relevé des températures avait été effectué par des Américains, ils auraient probablement utilisé comme unité le degré Fahrenheit. La formule de conversion d’une température de t degrés Celsius en une température de T degrés Fahrenheit est la suivante : T = 1,8 t + 32.

Calculer la moyenne et l’écart type de chaque série de température lorsque celles-ci sont exprimées en degrés Fahrenheit.

NB : On indiquera les formules utilisées et on donnera les résultats exacts puis arrondis à 10-1.

 

Barème possible : Ex 1 : 3 ptsEx 2 : 8 ptsEx 3 : 4 ptsEx 4 : 5 pts.