DEVOIR n°7
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Mercredi 27 mars 2002
 1ère S3

DEVOIR de MATHEMATIQUES (2h)
(Calculatrice autorisée)

I/ Fonctions et suites. (9 points)

Soit la suite u définie sur N* par : un = n – 1 +

A] Etude directe.

1°) Calculer les 4 premiers termes de la suite u.

2°) Etudier le signe de un+1un en fonction de n et en déduire à partir de quel rang la suite u est monotone.

3°) La suite u est-elle convergente ou divergente ? (Justifier)

B] Etude indirecte.

Soit f la fonction définie sur R* par : f(x) = x – 1 + et Cf sa courbe représentative.

1°) Etudier les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.

2°) En déduire que Cf admet une asymptote verticale et démontrer que Cf admet également une asymptote oblique dont on donnera une équation.

3°) Calculer f’(x) et déterminer les variations de f. Dresser le tableau de variations complet de f.

4°) Vérifier les résultats obtenus dans la partie A.

5°) Tracer la courbe Cf dans un repère orthonormal (unité graphique : 1 cm)

 

II/ Suites récurrentes. (6 points)

Soit u la suite définie par : u0 = -2 et un+1 = 3 + un pour tout nÎ N.

1°) Tracer dans un repère orthonormal (unité graphique : 1 cm) les droites D et D d’équations respectives : y = x + 3 et y = x. En déduire une construction des 4 premiers termes de la suite u (Expliquer cette construction)

2°) Soit v la suite définie par : vn = un – 6 pour tout nÎ N.

  1. Exprimer pour tout entier n, vn+1 en fonction de vn.
  2. En déduire que v est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme.
  3. Déterminer une expression de vn en fonction de n et en déduire une expression de un en fonction de n.
  4. Justifier que la suite v est convergente et en déduire la convergence de la suite u.

 

III/ Géométrie dans l’espace. (5 points)


Sur le cube ci-contre, on note I le point tel que ,

J le milieu de [BC] et K le point tel que .

1°) Placer I, J et K sur la figure.

2°) Justifier que (IJ) et (CD) sont sécantes.

On note P leur point d’intersection.

3°) En déduire l’intersection des plans (IJK) et (DCG).

4°) Compléter, en justifiant, la section du plan (IJK) avec le cube ABCDEFGH.

5°) Tracer, en justifiant, l’intersection des plans (IJK) et (EFG)