DEVOIR n°6
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Mardi 12 février 2002 1°S2-3

DEVOIR de MATHEMATIQUES (2h)
(Calculatrice autorisée)

I/ Etude d’une fonction rationnelle (11 points)

Soit f la fonction définie sur R\{-1 ; 1} par : .

1°) Etudier la parité de la fonction f, que peut-on en déduire pour sa courbe représentative C?

2°) a) Calculer les limites de f(x) quand x tend vers 1 et quand x tend vers +¥ .

b) En déduire les limites de f(x) quand x tend vers -1 et quand x tend vers –¥ .

c) Justifier que la courbe Cf admet deux asymptotes verticales (D 1) et (D 2) dont on donnera les équations.

3°) Déterminer les réels a et b tels que, pour tout xÎ R\{-1 ; 1} :

4°) a) Démontrer que la droite (D) d’équation y = –x est asymptote oblique à la courbe Cf.

b) Etudier la position de la courbe Cf par rapport à la droite (D).

5°) a) Calculer f’(x)

b) Etudier les variations de la fonction f et dresser son tableau de variation complet.

6°) Déterminer une équation de la droite (T) tangente à la courbe Cf au point d’abscisse 2.

7°) Tracer (D 1), (D 2), (D), (T) et Cf dans un repère orthonormal (O ;) d’unité de longueur 1 cm.

 

II/ Etude d’une fonction trigonométrique (5 points)

1°) a) Résoudre dans [0 ; 2p [ l’équation : sin x = .

b) En utilisant les valeurs trouvées au a) et la courbe représentative de la fonction sinus (y = sin x) ci-contre, résoudre dans [0 ; 2p [ l’inéquation :

2sin x – 1 ³ 0.

2°) Soit la fonction f définie sur R par : f(x) = cos(2x) + 2sin x.

a) Démontrer que f’(x) = -2cos x (2sin x – 1) et en déduire les variations de f sur l’intervalle [0 ; 2p [.

b) Tracer la courbe représentative de f sur l’intervalle [-2p  ; 2p [. (unité graphique : 1 cm)

 

III/ Statistique (4 points)

Une entreprise fait un relevé de la durée d’utilisation quotidienne, en heures, de ses ordinateurs.

Les résultats sont donnés dans le tableau suivant :

durée (en h)

1

2

3

4

5

6

7

8

nombre

3

5

8

19

9

13

4

3

1°) Déterminer la médiane, les quartiles et l’intervalle interquartile.

2°) Construire un diagramme en boîte (ou " boîte à moustaches ") représentant la série statistique.

3°) Calculer la moyenne et l’écart type.