DEVOIR n°5
Accueil Remonter
 mail2.gif (4196 octets) écrivez-moi pour me faire part de vos remarques.

DEVOIR n°1 Interrogation n°1 DEVOIR n°2 Interrogation n°2 DEVOIR n°3 DEVOIR n°4 Interrogation n°3 DEVOIR n°5 Interrogation n°4 DEVOIR n°6 Interrogation n°5 DEVOIR n°7 DEVOIR n°8 Interrogation n°6 DEVOIR n°9

Lundi 14 janvier 2002 1ère S

Devoir de MATHEMATIQUES (3h)
(Calculatrice autorisée)

 

I/ Relations métriques

1°) Soit un triangle ABC, on note a = BC, b = CA, c = AB, A = CAB, B = ABC et C = BCA.

  1. Rappeler la formule des sinus liant les mesures des trois côtés du triangle aux valeurs des sinus des angles des trois sommets du triangle.

  2. Rappeler le théorème d’Al-Kashi appliqué à un côté du triangle. (appelé aussi théorème de Pythagore généralisé)

2°) Un explorateur cherche à déterminer la distance entre deux igloos notés C et D. Une crevasse l’empêchant d’y accéder directement, il effectue des mesures d’angles entre deux positions A et B distantes de 150 m comme l’indique le dessin.

  1. Déterminer une mesure approchée à 1 cm près de la longueur AC.
  2. Déterminer une mesure approchée à 1 cm près de la longueur AD.
  3. Déterminer une mesure approchée à 2 cm près de la longueur CD.

 

II/ Trigonométrie

1°) Résoudre dans R l’équation : 4x3 – 3x = 0.

2°) a) En déduire la résolution dans ]-p  ; p ] de l’équation : (E) 4 cos3 x – 3 cos x = 0.

b) Placer les solutions de l’équation (E) sur un cercle trigonométrique.

4°) a) Résoudre dans ]-p  ; p ] l’équation : (E’) cos 3x = 0.

b) Démontrer que pour tout xÎ R, cos 3x = 4 cos3 x – 3 cos x. Que remarque-t-on ?

 

III/ Produit scalaire

Soit ABCD le quadrilatère représenté ci-contre.

I est le milieu de la diagonale [AC], H et K sont les projetés orthogonaux respectifs de B et D sur (AC).

1°) a) Montrer que AB2 – BC2 = 2 vect(IH) . vect(AC)
  1. Exprimer de même AD2 – DC2 à l’aide de vect(IK) et vect(AC).

2°) En déduire que si les diagonales du quadrilatère sont perpendiculaires alors AB2 + DC2 = BC2 + AD2.

 

IV/ Second degré

ABCD est un rectangle tel que AB = 1 et AD = 2. E est le milieu de [AB]. Pour tout point M du segment [AD], on pose AM = x et on note : f(x) = ME2 + MC2.

1°) Quel est l’ensemble I des valeurs que peut prendre x ?

2°) a) Montrer que, pour tout xÎ I, f(x) = 2x2 – 4x +

b) Etudier les variations de f et déterminer les éléments caractéristiques de la représentation graphique Cf de f sur I. Tracer la courbe Cf dans un repère orthogonal (unités graphiques : = 2 cm et = 4 cm.

c) En déduire la valeur minimale de ME2 + MC2.

Quelles sont alors les dimensions du triangle MEC et calculer une mesure de l’angle EMC à 1° près.

3°) a) Montrer que MEC est rectangle en M si et seulement si f(x) = .

b) En déduire les valeurs de x pour lesquelles le triangle MEC est rectangle en M.

c) Soit (G ) le cercle de diamètre [EC], donner une construction précise des points M1 et M2 correspondants aux solutions de la question précédente.

 

V/ Etude d’une fonction

Soit f la fonction définie sur R par : et Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O ;).

1°) a) Déterminer l’expression de la fonction dérivée f’(x) de la fonction f.

b) En déduire les variations de la fonction f.

2°) a) Déterminer une équation de la tangente T à la courbe Cf au point d’abscisse 0.

b) Etudier la position relative de la courbe Cf par rapport à T.

3°) a) Vérifier qu’une équation de la tangente Ta au point d’abscisse a de la courbe Cf est donné par :

Ta :

b) En déduire les coordonnées des points de la courbe Cf pour lesquels la tangente à Cf passe par le point I(1 ;0).

4°) Tracer la courbe Cf et les tangentes aux points d’abscisses 0 et (unité graphique : 2 cm).

 

Barème possible

I/ 4 points – II/ 4 points – III/ 3 points – IV/ 4 points

 

<<< Il sera tenu compte de la présentation et de la rédaction >>>