DEVOIR n°3
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Mercredi 7 novembre 2001 1°S3

DEVOIR de MATHEMATIQUES (2h)

(Calculatrice autorisée)

 

I/ Equation du second degré avec un paramètre.

Soit (Em) l’équation : (m – 1)x2 + 2mx + m + 2 = 0.

1°) Résoudre les équation (E0) et (E1)

(c’est à dire résoudre l’équation (Em) dans le cas où m = 0 puis dans le cas où m = 1).

2°) a) Pour quelle(s) valeur(s) de m l’équation (Em) admet-elle x = 0 comme solution ?

b) Résoudre l’équation (Em) dans ce(s) cas.

3°) a) Pour quelle(s) valeur(s) de m l’équation (Em) admet-elle une unique solution ?

b) Pour quelle(s) valeur(s) de m l’équation (Em) admet-elle deux solutions distinctes ?

c) Pour quelle(s) valeur(s) de m l’équation (Em) n’admet-elle aucune solutions réelles ?

 

 

II/ Equations symétriques.

Soit l’équation (E) : 2x4 – 9x3 + 8x2 – 9x + 2 = 0.

1°) a) Justifier que 0 n’est pas solution de (E) et en déduire que (E) peut s’écrire :

b) Pour tout x ¹ 0, on pose X = x + .

Montrer que x est solution de (E) si et seulement si X est solution de (E’) : 2X2 – 9X + 4 = 0.

2°) a) Résoudre l’équation (E’).

b) En déduire les solutions de l’équation (E).

 

III/ Equations de droites et de cercles.

Soit A(-2 ; 1) et B(4 ; -2) deux points du plan muni d’un repère orthonormal (O ;).

On note (C) l’ensemble des points M(; y) du plan tels que : x2 + y2 + 2x – 6y – 15 = 0

(Faire la figure sur une feuille séparée)

1°) Justifier que (C) est un cercle dont on indiquera le centre et le rayon.

2°) Déterminer une équation de la droite (AB).

3°) Déterminer les points d’intersection I et J de (AB) avec (C).

4°) Déterminer une équation de la tangente à (C) au point K(2 ;-1).

 

IV/ Produit scalaire et angle.


Soit ABCD un rectangle tel que BC = a et AB = 3BC.

On note E le point de [CD] tel que DE = a.

Le but de l’exercice est de calculer pour en déduire une valeur approchée de l’angle AEB.

1°) c) Déterminer les coordonnées des points A, B, C, D et E dans le repère orthonormal (A ;) avec et .

b) En déduire une expression de en fonction de a.

2°) a) Exprimer les longueurs EA et EB en fonction de a.

b) En déduire une expression de en fonction de a de AEB.

3°) Déduire des question précédentes une valeur approchée de AEB en degré à 10-1 près .

 

Barème possible : I/ 5 pts - II/ 5 pts - III/ 5 pts - IV/ 5 pts

- Il sera tenu compte de la présentation et de la rédaction de la copie -