Devoir Maison n°1
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Pour le 2 octobre 2000    Term S1

Devoir à la maison n° 1

 

I/ Encore une formule de trigo !

Soient a, b et c trois réels tels que a- b, bc et ca sont différents de (kÎ Z),

démontrer la formule suivante :

tan(a - b) + tan(b - c) + tan(c - a) = tan(a - b). tan(b - c). tan(c - a).

 

II/ Linéariser cos(2n).

 

On considère les polynômes Pn de la variable réelle x, tels que:

P0(x) = 2, P1(x) = x +

et pour tout entier n>1 : Pn(x) - Pn-1(x) + Pn-2(x) = 0

1°) Former P2(x), P3(x) et P4(x).

2°) Démontrer,par récurrence, que pour tout entier n, le polynôme Pn est de degré n, et donner l’expression de son terme de plus haut degré.

3°) On suppose : -1 £ x £ 0, et on pose : x = - cos2 a .

Etablir la relation :

Pn(- cos2 a ) = (-1)ncos(2na ).

En déduire l’expression de cos(6a ) et de cos(8a ) en fonction de cos a .

 

III/ Fractions continues

Pour tout réel k > 0, on définie la fonction fk sur R* par :

1°) Démontrer que l’équation fk(x) = x admet deux solutions a et b tels que : a < 0 < b .

2°) On définit la suite (xn) par : x0 > 0 et xn+1 = fk(xn) pour tout entier n.

  1. Justifier que xn est défini pour tout entier n.
  2. On définit la suite (un) par : pour tout entier n.
  3. Justifier que un est défini pour tout entier n.

  4. Démontrer que (un) est une suite géométrique.
  5. En déduire l’expression de un puis de xn en fonction de n.

  6. Déterminer la limite de (xn). En déduire la valeur des expressions suivantes :

et