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Lundi 21 mai 2001 Term S1

DEVOIR de MATHEMATIQUES (2h)
(Calculatrice autorisée)

  

I/ Géométrie dans l’espace. (6 points)

Soient les points A(1;0;0), B(0;1;1), C(0;-1;-1),

D(-1;1;-1) et E(1;1;2) dans un repère (O; ,,).

1°) a) Déterminer un système d’équations paramétriques de la droite (DE).

b) Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.

c) Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).

2°) Déterminer les coordonnées du point I intersection du plan (ABC) et de la droite (DE).

3°) a) Déterminer une équation cartésienne du plan (P) orthogonal à (DE) et passant par J(11/6;0;0).

b) Vérifier que I appartient à (P).

c) Déterminer un système d’équations paramétriques de la droite (D ) d’intersection des plans (ABC) et (P).

Préciser un vecteur directeur et un point de la droite (D ).

 

II/ Courbe paramétrée. (7 points)

Soit C la courbe d’équations paramétriques : , tÎ R.

dans un repère orthonormal.

1°) a) Comparer les points M(t) et M(t + 2p ).

b) Comparer les points M(t) et M(-t).

c) Comparer les points M(t) et M(p - t).

2°) En déduire que l’on peut réduire l’intervalle d’étude à I =et expliquer comment l’on obtient alors la courbe C sur R.

3°) Etudier les variations des fonctions x et y. (on pourra montrer que x’(t) = 3.cos t. cos 2t.)

4°) Indiquer les points où la tangente à C est parallèle à l’un des axes du repère.

5°) Tracer C sur I et compléter en pointillés sur R.

 

III/ Intégrales. (7 points)

On pose :

I0 =

et pour tout nÎ N*, In = .

1°) Calculer I0 puis I1 en utilisant une intégration par parties.

2°) Pour tout nÎ N*, établir la relation :

2In + nIn-1 = e2.

Calculer I2.

3°) Montrer que la suite de terme général In est décroissante. En déduire, en utilisant la relation de récurrence du 2°, l’encadrement :

.

Calculer et .