DEVOIR n°7
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Jeudi 22 mars 2001 Term S1-2

DEVOIR de MATHEMATIQUES (2h)
(Calculatrice autorisée)

 

Exercice

Une usine fabrique des stylos à bille. Une étude statistique a montré que 90% de la production ne présente pas de défaut.

Chaque stylo est soumis à un contrôle de fabrication. Ce contrôle refuse 94% des stylos avec défaut et accepte 92% des stylos sans défaut.

On choisit au hasard un stylo avant son passage au contrôle.

On désigne par D l’événement : " le stylo a un défaut ",

et par A l’événement : " le stylo est accepté à l’issue du contrôle ".

1°) a) Calculer la probabilité des événements suivants :

E: " le stylo est accepté et n’a pas de défaut ",

E: " le stylo est accepté et a un défaut ",

b) Calculer la probabilité que le stylo soit accepté.

2°) Le contrôle permet-il d’affirmer que moins de 1% des stylos acceptés présentent un défaut ?

3°) On admet que la probabilité qu’un stylo accepté présente un défaut est 0,007. On prend au hasard et de façon indépendante 10 stylos acceptés à l’issue du contrôle (on assimilera ces choix à 10 tirages avec remise).

Calculer une valeur approchée à 10-3 près de la probabilité d’avoir au moins deux stylos présentant un défaut.

 

Problème

Partie A

Soit l’équation différentielle : y’ + 2y = 4e1–2x (E)

1°) Démontrer que la fonction u définie sur R par u(x) = 4xe1–2x est une solution particulière de (E).

2°) Résoudre l’équation différentielle : y’ + 2y = 0 (E0)

3°) Démontrer qu’une fonction v définie sur R est solution de (E) si et seulement si vu est solution de (E0).

4°) En déduire toutes les solutions v de l’équation (E).

5°) Déterminer la fonction v0, solution de (E), qui prend la valeur -2e en 0.

Partie B

Soit f la fonction définie sur R par : f(x) = 2(2x – 1)e1–2x.

1°) Etudier les limites de f en -¥ et en +¥ et en déduire que la courbe Cf dans un repère orthonormal (O ;) admet une asymptote horizontale.

2°) Etudier les variations de f puis dresser son tableau de variation complet.

3°) Déterminer une équation de la tangente à Cf au point d’abscisse 3/2.

4°) Tracer la courbe Cf et sa tangente au point d’abscisse 3/2

(unité : 2 cm sur chaque axe).

Partie C

Soit y = g (x) l’équation réduite de la tangente T à Cf au point d’abscisse a.

On note j (x) = f(x) – g(x).

1°) a) Exprimer j (x) en fonction de f’(x) et f’(a).

b) Montrer que : j ’’(x) = f’’(x).

2°) Résoudre f’’(x) = 0.

3°) Dans cette question, on pose : a = 3/2.

  1. Déterminer les variations de j et en déduire le signe de j (x).
  2. Déterminer les variations de j et en déduire le signe de j (x).
  3. Déterminer la position de Cf par rapport à sa tangente T.