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Term S1-2 - Février 2001

ESIEE –Concours 1999 (2h)
(Calculatrice interdite)

 

L’épreuve comporte 20 exercices indépendants, chaque exercice comportant 5 affirmations. Vous devez indiquer pour chacune d’elles si elle est vraie (V) ou fausse (F).

Toute réponse exacte rapporte un point, une réponse inexacte entraîne le retrait d’un point et l’absence de réponse ne rapporte ni ne retire aucun point.

Une bonification d’un point est ajoutée chaque fois qu’un exercice est traité correctement en entier (c’est à dire lorsque les réponses aux 5 affirmations sont exactes).

 

Question 1

  1. Pour nÎ N\{0 ;1},

 

Question 2

Il existe au moins deux fonctions f et g définies sur R telles que :

  1. et et
  2. et et
  3. et et n’admet ni limite finie ni limite infinie quand x tend vers +¥
  4. et et
  5. et et

n’admet ni limite finie ni limite infinie quand x tend vers +¥

 

Question 3

Pour toute fonction f : R ® R dérivable sur R, dont la courbe représentative dans un repère orthonormé est symétrique par rapport à la droite d’équation x = 2, on a :

  1. Pour tout xÎ R, f(2 + x) = f(2 – x)
  2. Pour tout xÎ R, f(x) = f(4 – x)
  3. Pour tout xÎ R, f’(2 + x) = f’(2 – x)
  4. Si alors
  5. Si alors

 

Question 4

Soit et I = ]1 ; +¥ [

  1. Pour tout xÎ I,
  2. La fonction F définie sur I par : F(x) = ln|2x + 3| + 2 ln|x – 1| est une primitive de f sur I
  3. Il existe une primitive F de f sur I telle que F(2) = 5
  4. Il existe une primitive F de f sur I telle que F(2) = p
  5. Il existe une primitive F de f sur I telle que

 

Question 5

Soit et F une primitive de f sur

On note., alors :

 

Question 6

Soit f la fonction définie par :

Pour tout xÎ R\,

On note Cf la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.

Alors :

  1. f est dérivable en x = 0
  2. Cf admet la droite d’équation y = pour asymptote
  3. Cf admet la droite d’équation x = 1 pour asymptote
  4. L’équation f(x) = 2 admet une unique solution

 

Question 7

Soit f et g deux fonctions définies sur R vérifiant :

Pour tout xÎ R, f(x) = e2g(x)

on a :

  1. Pour tout xÎ R, f(x) > 0
  2. Si alors
  3. Si f est décroissante sur R alors g est décroissante sur R
  4. Si g est dérivable sur R alors f est dérivable sur R
  5. Si f est dérivable sur R alors g est dérivable sur R

 

 

Question 8

Soit f : [-1 ; 1] ® R, dérivable sur [-1 ; 1 ]

La courbe représentative de f’, la dérivée de f, est donnée ci-contre :

On a :

  1. f est monotone sur [-1 ; 1]
  2. f admet un extremum en x = 0
  3. Au point d’abscisse x = 0, la courbe de f admet une tangente parallèle à la droite d’équation y = x.
  4. Pour tout xÎ [-1 ; 1], f(x) ³ 0
  5. f s’annule au plus une fois sur [-1 ; 1]

 

Question 9

Soit f une fonction définie sur R dont le tableau de variation est :

Alors l’expression de f peut être :

  1. f(x) = |x| + 1
  2. f(x) = ln (x2 + 1) + 1
  3. f(x) = ex - x

 

Question 10

Soit (un)n³ 1 la suite arithmétique de raison 5 et de premier terme u1 = -28.

Alors :

  1. u6 = 2
  2. Il existe un entier m tel que um > m
  3. Il existe un entier n tel que unun+1 < 0
  4. Il existe un entier p tel que u1 + up = 1999
  5. Il existe un entier k tel que u2 + uk = 1999

 

Question 11

Pour tous entiers naturels strictement positifs n et p, on a :

  1. n2 est pair si et seulement si n est pair
  2. (n + p)2 est pair si et seulement si (np)2 est pair
  3. Si np est impair alors n + p est pair
  4. Si n2 + np + p2 est pair alors np est pair
  5. Si n2 + np + p2 est pair alors n et p sont impairs

 

Question 12

On considère trois entiers naturels x, y et z. Soit la proposition :

(P) : " si x = 3 alors y = 5 et z = 1 ".

Alors :

  1. (P) est équivalente à " si y = 5 et z = 1 alors x = 3 "
  2. (P) est équivalente à " pour que y = 5 et z = 1 il suffit que x = 3 "
  3. (P) est équivalente à " pour que y = 5 et z = 1 il faut que x = 3 "
  4. La négation de (P) est " x = 3 et y ¹ 5 et z ¹ 1 "
  5. La négation de (P) est " si x= 3 alors y ¹ 5 ou z ¹ 1 "

 

Question 13

Pour tout nombre réel x, tel que les deux membres des égalités proposées soient définis, on a :

 

Question 14

Pour tous nombres complexes z et z’ non nuls, on a :

  1. |1 + z| ³ 1
  2. Si |z| = |z – 1| alors Re(z) =
  3. Si |z| = |z’| alors il existe q Î [0 ; 2p [ pour lequel z’ = eiq z
  4. S’il existe nÎ N\{0 ;1} tel que zn = zn alors il existe a Î [0 ; 2p [ pour lequel z’ = eia z
  5. Si |z + z’| = |z| + |z’| alors arg z = arg z’ (2p ) ou arg z = p + arg z’ (2p )

 

Question 15

On considère les nombres complexes a = 1 – i et b = 1 + i.

Alors :

  1. Il existe un entier nÎ N* tel que bnÎ ]0 ;+¥ [
  2. Pour tout pÎ N*, si bpÎ ]-¥  ; 0[ alors il existe kÎ N tel que p = 6k + 3
  3. Il existe un entier mÎ N* tel que bmÎ ]0 ;+¥ [ et amÎ ]0 ;+¥ [
  4. Il existe un entier rÎ N* tel que brÎ ]-¥  ; 0[ et arÎ ]-¥  ; 0[
  5. Il existe un entier qÎ N* tel que (ab)qÎ ]-¥  ; 0[

 

Question 16

On considère 26 jetons. Chaque jeton est bicolore : il a une face d’une couleur, et l’autre face d’une autre couleur. Les couleurs utilisées sont : noir, bleu, rouge.

Le nombre de jetons possédant : une face de couleur noire est 19.

une face de couleur bleue est 17.

une face de couleur rouge est 16.

Alors :

  1. Parmi les jetons ayant une face rouge, il y a autant de jetons ayant une face noire que de jetons ayant une face bleue
  2. Parmi les jetons ayant une face bleue, il y en a au moins 8 qui ont une face noire
  3. Parmi les jetons ayant une face bleue, il y en a au moins 8 qui ont une face rouge
  4. Parmi les jetons ayant une face noire, il y en a au moins 8 qui ont une face rouge
  5. Parmi les jetons ayant une face noire, il y en a exactement 10 qui ont une face bleue

 

Question 17

Dans un étang vivent 50 brochets et 75 carpes, 20% des brochets et 60 % des carpes mesurent plus de 30 cm. Maurice va à la pêche dans cet étang en jetant son filet.

On suppose que Maurice a pris un seul poisson dans son filet

  1. La probabilité pour que ce soit une carpe de plus de 30 cm est :
  2. La probabilité pour que ce soit un poisson de plus de 30 cm est :
  3. On suppose maintenant que Maurice a pris 10 poissons dans son filet, on note F le nombre de brochets de plus de 30 cm parmi ces 10 poissons

  4. p(F=3) =
  5. p(F=3) =
  6. La probabilité que F=3 sachant que les 10 poissons sont des brochets est égale à

 

Question 18 (1998)

On considère un tableau de 4 cases sur 4. On dispose de pions noirs et de pions blancs. Pour n et p appartenant à {1 ; 2 ; 3 ; 4}, la case (; p) est la case se trouvant dans la ligne n et la colonne p.

On remplit le tableau en respectant la condition :

Pour toutes les cases n’étant pas sur la diagonale (en pointillés)

 

si une case contient un pion blanc alors la case symétrique par rapport à la diagonale doit contenir un pion noir.

Un tableau ainsi rempli est appelé " tableau antisymétrique "

Alors :

  1. Si la case (2 ;3) contient un pion noir alors la case (3 ;2) peut contenir un pion noir
  2. Il existe un et un seul tableau antisymétrique contenant :
  3. Il existe exactement 26 tableaux antisymétriques contenant :
  4. Il existe exactement 28 tableaux antisymétriques contenant :
  5. Il existe exactement 210 tableaux antisymétriques

 

Question 19 (1998)

Soit f la fonction définie par : pour tout xÎ R, f(x) = x2e-|x|

Alors :

  1. La courbe représentative de f admet une asymptote horizontale
  2. f est dérivable en x = 0
  3. Pour tout xÎ ]0 ; +¥ [, f’(x) £ 0
  4. La courbe représentative de f admet un maximum au point d’abscisse x = 2

 

Question 20 (1998)

La fonction f admet f’ comme fonction dérivée sur R

  1. f(x) = x|x|f’(x) = 2|x|
  2. f(x) = ln(1 + x2)f’(x) =
  3. f(x) = f’(x) =
  4. f(x) = cos2(3x – 1)f’(x) = 6 sin(3x – 1)
  5. f(x) = x2e2xf’(x) = (x2 + 2x)e2x