DEVOIR n°5
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Jeudi 25 janvier 2001 Term S1-2

Devoir de Mathématiques (3h)
(Calculatrice autorisée)

 

Exercice 1

Un lotissement est constitué de 12 parcelles, numérotées de 1 à 12 et disposées de la façon suivante :

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Pour chaque parcelle on a le choix entre trois plans d’équipement désignés dans ce qui suit par A, B et C. Un plan d’aménagement du terrain consiste à choisir un plan d’équipement pour chaque parcelle, par exemple :

A

B

C

A

B

C

A

B

C

A

B

C

est un plan d’aménagement du terrain dans lequel le plan A est retenu pour les parcelles 1, 4, 7 et 10, le plan B, pour les parcelles 2, 5, 8 et 11, le plan C pour les parcelles 3, ; 6, 9 et 12.

1°) Combien y a-t-il de plans d’aménagements pour le terrain ?

2°) Le plan C apporte moins de bénéfices au promoteur que les plans A et B :

  1. Combien y a-t-il de plans d’aménagement utilisant seulement A et B ?
  2. Une réglementation impose que, dans un plan d’aménagement n’utilisant que A et B, deux parcelles ayant une clôture commune ne peuvent être équipées suivant le même plan. Combien y a-t-il de plans d’aménagement satisfaisant à cette réglementation ?

3°) On veut équiper quatre parcelles en A, quatre en B et quatre en C. Combien y a-t-il de plans d’aménagement satisfaisant à cette condition ?

 

Exercice 2

Dans une urne, il y a n boules rouges et n boules vertes.

1°) On prend simultanément n boules. Exprimer en fonction de n et k, le nombre de tirages contenant k boules rouges et nk boules vertes (0 £ k £ n)

2°) En déduire une simplification de l’expression :

 

Problème

Partie A

Soit la fonction j définie dans R par j (x) = ex + x + 1.

1°) Etudier le sens de variation de j et ses limites en +¥ et en –¥ .

2°) Montrer que l’équation j (x) = 0 a une solution et une seule a et que l’on a : –1,28 < a < –1,27.

3°) En déduire le signe de j (x) sur R.

Partie B

Soit la fonction f définie sur R par : et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O ;) du plan (unité graphique : 4 cm).

1°) Montrer que : . En déduire le sens de variation de f.

2°) Montrer que f(a ) = a + 1 et en déduire un encadrement de f(a ).

3°) Soit T la tangente à (C) au point d’abscisse 0. Donner une équation de T et étudier la position relative de (C) par rapport à T.

4°) Chercher les limites de f en +¥ et en –¥ .

Démontrer que la droite D d’équation y = x est asymptote à (C) en +¥ et étudier la position de (C) par rapport à D. (On rappelle que et que )

5°) Faire le tableau de variation de f.

6°) Tracer sur un même dessin (C), T et D. La figure demandée fera apparaître les points de (C) dont les abscisses appartiennent à [-2 ; 4].

Partie C

On considère la fonction g, définie sur [0 ; 1] par :

g(x) = ln (1 + ex).

On note (L) la courbe représentative de g dans le repère (O ;), I le point défini par , A le point d’abscisse 0 de (L) et B son point d’abscisse 1.

1°) Etudier brièvement les variations de g.

2°) Donner une équation de la tangente en A à (L).

3°) On note P le point d’intersection de la tangente en A avec le segment [IB].

Calculer les aires des trapèzes OIPA et OIBA (en unités d’aires).

4°) On suppose que sur [0 ; 1] (L) est située entre (AP) et (AB), en déduire un encadrement de l’aire (en unités d’aires) de la partie du plan comprise entre (L), (OI) et les droites d’équation x = 0 et x = 1.

5°) Vérifier que si G est une primitive de g sur [0 ; 1], alors la fonction F définie par :

F(x) = xg(x) – G(x) est une primitive de f sur [0 ; 1].

6°) En déduire un encadrement de l’aire (en unités d’aires) de la partie du plan comprise entre (C), (OI) et les droites d’équation x = 0 et x = 1.

(On donnera la valeur exacte et une valeur approchée à 10-2 de chacune des deux bornes)