DEVOIR n°4
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Jeudi 30 novembre 2000      Term S1

Devoir de Mathématiques (1h30)
(Calculatrice autorisée)

 

 Le plan P est rapporté à un repère orthonormal (O ;) d’unité graphique 2 cm.

Soit (E) l’équation : x4 = 4x + 1 sur R.

Partie I

Soit f l’application définie sur R par : f(x) = x4 – 4x – 1.

1°) Etudier les variations de f et dresser son tableau de variations complet.

2°) En déduire le nombre de solutions de l’équation (E) et justifier qu’une des solutions appartient à l’intervalle I = .

Partie II

Dans cette partie, I désigne toujours l’intervalle et a désigne la solution positive de (E).

1°) Soit g l’application définie sur [ ; 0[È ]0 ; +¥ [ par : g(x) = .

a) Etudier les limites de g aux bornes de son ensemble de définition et en déduire que la courbe Cg représentative de g admet les axes du repère pour asymptotes.

b) Etudier la dérivabilité de g en x = , que peut-on en déduire pour Cg ?

c) Justifier que g est dérivable sur ] ; 0[È ]0 ; +¥ [ et que sur ] ; 0[È ]0 ; +¥ [.

d) Etudier les variations de g et dresser son tableau de variations complet.

e) Tracer la courbe Cg.

2°) a) Montrer que a est solution de l’équation g(x) = x.

b) Montrer que si xÎ I alors g(x)Î I.

c) Encadrer (2x + 1) et sur I. En déduire que pour tout x de I, |g’(x)| £ 0,9.

3°) Soit (un)nÎ N la suite définie par : u0 = 2 et pour tout entier naturel n, un+1 = g(un).

a) Montrer par récurrence que : pour tout entier naturel n, un est élément de I.

b) Prouver que pour tout entier naturel :

|un+1 - a | £ 0,9. |un - a |

En déduire par récurrence que pour tout entier naturel :

|un - a | £ 0,5´ (0,9)n.

Justifier que la suite (un)nÎ N est convergente, quelle est sa limite ?