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Jeudi 19 octobre 2000 Term S1-2

Devoir de Mathématiques (2h)
(Calculatrice autorisée)

 

Exercice 1

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal (O ; ).

I/ Soit (E) l’équation : z2 – (1 + 2i) z – 2 (1 – 2i) = 0

1°) Démontrer que (E) possède une solution réelle.

2°) En déduire toutes les solutions de (E) dans C.

II/ Soient A et B les points d’affixes zA = -2 + 4i et zB = 2i.

A tout point M d’affixe z, M distinct de B, on associe le point M’ d’affixe z’ tel que :

1°) Déterminer les points M du plan tels que M = M’.

2°) On pose : z = x + iy et z’ = x’ + iy’ avec x, y, x’ et y’ réels.

  1. Déterminer x’ et y’ en fonction de x et y.
  2. En déduire l’ensemble (E1) des points M du plan tels que z’ soit réel.
  3. Déterminer l’ensemble (E2) des points M du plan tels que z’ soit imaginaire pur.

3°) a) Interpréter géométriquement | z’|.

  1. En déduire l’ensemble (E3) des points M du plan tels que | z’| = 1.

4°) Représenter les solutions du 1°) et les ensembles (E1), (E2) et (E3) dans le plan complexe. 

 

Exercice 2

Soit (E) l’équation complexe : iz2 - 2 + 2 – i = 0.

1°) On pose : z = x + iy avec x et y réels, démontrer que (E) équivaut au système :

2°) En déduire la résolution de l’équation (E).

  

Exercice 3

Soit : Sn =

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul on a : Sn =

 

Exercice 4

Soit et Cf la courbe représentative de f dans un repère (O ;.

1°) Déterminer quatre réels a, b, c, d tels que pour tout x ¹ 1,

2°) Déterminer toutes les droites asymptotes à la courbe Cf.

3°) Préciser la position de Cf par rapport à son asymptote oblique.

Remarque : La figure n’est pas demandée.

 

Exercice 5

Soit et Cf la courbe représentative de f dans un repère (O ;.

1°) Déterminer l’ensemble de définition de f.

2°) Calculer et en déduire que la courbe Cf admet une asymptote dont on donnera une équation.

3°) Démontrer que la droite D  : y = 2x + est asymptote à Cf en +¥ .

Remarque : La figure n’est pas demandée.

 

Barème possible :

 

Exercice 1 : 7 points

Exercice 2 : 3 points

Exercice 3 : 2 points

Exercice 4 : 4 points

Exercice 5 : 4 points