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Jeudi 28 septembre 2000    Term S1-2

Devoir de Mathématiques (2h)

 

I/ Equations trigonométriques. (4 points)

1°) Résoudre sur ]-p  ; p ] : sin 2x = 2.sin2x.

2°) Sachant que et tan x = 2 + , calculer tan 2x et en déduire x.

 

II/ Etude d’une fonction. (10 points)

Soit la fonction f définie sur R par : f(x) = cos 4x + 2.sin 2x.

On note Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormal (unité graphique 2 cm.).

1°) Démontrer que f est de période p .

2°) Démontrer que la droite d’équation x = est un axe de symétrie de Cf.

3°) En déduire que l’on peut réduire l’intervalle d’étude à l’intervalle I =

et expliquer comment l’on obtient alors la courbe Cf complète.

4°) Vérifier que f’(x) = -4.cos 2x.(2.sin 2x - 1)

En déduire les variations de f sur l’intervalle I puis dresser son tableau de variations complet sur I.

5°) Tracer la courbe Cf sur l’intervalle [-p ; p ].

6°) Résoudre dans R l’équation : f(x) = 1.

Indiquer les solutions appartenant à l’intervalle [-p ; p ] et vérifier ce résultat sur le graphique précédent.

 

III/ Etude d’une suite. (6 points)

On considère la suite numérique (un) définie par :

u0 = 1 et pour tout entier naturel n,

Soit (vn) la suite définie par :

vn = 4un – 6n + 15

1°) Démontrer que (vn) est une suite géométrique.

2°) Exprimer vn puis un en fonction de n.

En déduire que pour tout entier naturel n,

3°) Démontrer que, pour tout entier naturel n, un = tn + wn où (tn) est une suite géométrique et (wn) est une suite arithmétique.

4°) Calculer les sommes : Tn = t0 + t1 + … + tn

et Wn = w0 + w1 + … + wn

En déduire : Un = u0 + u1 + … + un