Bac Blanc n°2
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Avril 2001 Term S

Bac Blanc II

Mathématiques (4h)
(Calculatrice autorisée)

 

Exercice 1 (commun à tous les candidats) (4 points)

Quatre filles et trois garçons doivent subir l’épreuve orale d’un examen. L’examinateur décide d’établir au hasard la liste fixant l’ordre de passage des candidats. Pour cela, il met les noms (supposés tous différents) des sept candidats dans une enveloppe.

1°) Dans cette question, on suppose que l’examinateur procède à un tirage des sept noms l’un après l’autre.

On désigne par F1 l’événement : " le premier candidat interrogé est une fille ",

et par F2 l’événement : " le deuxième candidat interrogé est une fille ".

  1. Quelle est la probabilité que les deux premiers candidats interrogés soient des filles ?
  2. Quelle est la probabilité que le deuxième candidat interrogé soit une fille sachant que le premier candidat interrogé est une fille ?
  3. Quelle est la probabilité que le deuxième candidat interrogé soit une fille ?

2°) On suppose maintenant que l’examinateur, voulant interroger seulement quatre candidats parmi les sept, procède à un tirage simultané de quatre noms. On note X la variable aléatoire égale au nombre de filles ainsi désignées.

  1. Quelle est la loi de probabilité de X ?
  2. Calculer l’espérance mathématique de X.

 

Exercice 2 (spécialité physiques ou S.V.T.) (5 points)

Le plan complexe est rapporté à un repère (O ;) orthonormal direct.

A tout point M du plan d’affixe z, différente de zéro, on associe les points M’ et M² d’affixes respectives z’ et z² définies par : z’ = iz et z² = z2.

1°) Cas particulier.

Soit A le point d’affixe a = 2 – i et B le point d’affixe b = 2 + i.

On appelle A’ et A² les points associés à A.

On appelle B’ et B² les points associés à B.

  1. Déterminer, sous forme algébrique, les affixes a’ et a² des points A’ et A² . Prouver que A est le milieu du segment [A’A² ].
  2. Déterminer, sous forme algébrique, les affixes b’ et b² des points B’ et B² .
  3. Calculer, sous forme algébrique, .
  4. En déduire la nature du triangle B B’B² .

Représenter sur une figure les points A, A’, A² , B, B’ et B² .

2°) Cas général

M est un point quelconque d’affixe z différente de zéro. N est le point d’affixe . N’ et N² sont les points associés au point N.

On pose z = x + iyxÎ R et yÎ R.

  1. Prouver que, si z¹ 1, l’angle a pour mesure un argument de .
  2. Déterminer une relation entre x et y pour que soit réel.
  3. Montrer que les points M, M’ et M² sont alignés si et seulement si y = –x + 1. (1)
  4. On suppose que l’affixe de M est différente de 1 et que la relation (1) est vérifiée.

Prouver que NN’N² est un triangle rectangle en N.

 

Exercice 2 (spécialité mathématiques) (5 points)

Dans le plan orienté, on considère la figure ci-contre : ABC et DEF sont deux triangles équilatéraux directs et :

.

On note G et H les points tels que EDBG et CDFH soient des parallélogrammes.

Le but de l’exercice est de démontrer de deux manières (l’une utilisant les affixes complexes, l’autre utilisant les composées de déplacements) que le triangle AGH est équilatéral.

I/ Le plan orienté étant rapporté à un repère orthonormal direct, on note a, b, c, d, e, f, g, h les affixes respectives des points A, B, C, D, E, F, G, H.

1°) Montrer que : ca = (ba).

Exprimer (fd) en fonction de (ed).

2°) Exprimer g en fonction de b, d, e et h en fonction de c, d, f.

3°) Démontrer que : ha = (ga).

En déduire que le triangle AGH est équilatéral.

II/ On note :

t1 la translation de vecteur ,

t2 la translation de vecteur ,

R la rotation de centre D et d’angle de mesure .

On pose : T = t2oRot1.

1°) Justifier que T est une rotation et préciser son angle.

Déterminer l’image de B par T et en déduire le centre de la rotation T.

2°) Déterminer l’image de G par T et montrer que le triangle AGH est équilatéral.

 

Problème (commun à tous les candidats) (11 points)

Soit f la fonction définie sur R par :

Le plan est rapporté à un repère orthogonal (O ;) les unités graphiques étant 1 cm sur l’axe des abscisses et 5 cm sur l’axe des ordonnées. (C) est la représentation graphique de f dans ce repère.

La figure (1) ci-après est une représentation graphique de f dans un repère orthogonal qui ne respecte pas les unités précédentes.

wpe2.jpg (6852 octets)

Partie A

1°) Calculer la dérivée f’ de f sur R.

Montrer que, pour tout x réel, f’(x) est du signe de : .

2°) a) Calculer g’(x).

  1. Déterminer la limite de g(x) en –¥ .
  2. Déterminer le sens de variation de la fonction g.

Déduire des questions précédentes le signe de f’(x).

3°) Déterminer les limites de f(x) en +¥ et en –¥ .

On pourra utiliser les résultats suivants :

et

Dresser le tableau de variation de f.

On ne demande pas la construction de la courbe (C) mais on contrôlera la cohérence des résultats obtenus avec la figure (1).

Partie B

1°) Déterminer a et b réels tels que, pour tout réel x,

.

En déduire I =

2°) A l’aide d’une intégration par parties, calculer J = .

En déduire en cm2 l’aire de la portion du plan comprise entre les droites d’équations x = 0, = 1, y = 0 et la courbe (C). On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée au mm2 près.

Partie C

On se propose de chercher les fonctions u définies et dérivables dans R telles que pour tout x réel on ait : u’(x) + u(x) = (1)

1°) Vérifier que f est une solution de (1).

2°) On pose F = uf.

Montrer que u est solution de (1) si et seulement si F est solution de F’ + F = 0. (2)

3°) Résoudre (2). En déduire toutes les fonctions solutions de (1).