Bac Blanc n°1
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Décembre 2000 Série S

BAC BLANC

Mathématiques (4h)
(Calculatrice autorisée)

Exercice 1 (4 points)

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct (O ;), (unité graphique : 4 cm), on donne les points A et B d’affixes respectives 1 et .

Pour chaque point M du plan, d’affixe z, M1 d’affixe z1 désigne l’image de M par la rotation de centre O et d’angle , puis M’ d’affixe z’ l’image de M1 par la translation de vecteur –.

Enfin, on note T la transformation qui, à chaque point M, associe le point M’.

1°) a) Démontrer que : z’ = z – 1.

b) Déterminer l’image du point B par T.

c) Montrer que T admet un unique point invariant dont on précisera l’affixe.

2°) On pose z = x + iy, avec x et y réels.

  1. Pour z non nul, montrer que la partie réelle du quotient est égale à : .
  2. Démontrer que l’ensemble (E) des points M du plan, tels que le triangle OMM’ soit rectangle en O, est un cercle (C), dont on précisera le centre et le rayon, privé de deux points. Tracer (E).

3°) Dans cette question, on pose z = 1 + i.

  1. Vérifier que M appartient à (E). Placer M et M’ sur la figure.
  2. Calculer le module de z’.
  3. Calculer l’aire, en cm2, du triangle OMM’.

 

Exercice 2 ( Spécialité S.V.T. ou Sc. Physiques) (4 points)

Soit (un) et (vn) les suites définies pour tout entier naturel n par :

u0 = 9, un+1 = un – 3 et vn = un + 6.

1°) a) Montrer que (vn) est une suite géométrique à termes positifs.

b) Calculer la somme en fonction de n et en déduire la somme en fonction de n. Déterminer et .

2°) On définit la suite (wn) par wn = ln vn pour tout entier n.

Montrer que (wn) est une suite arithmétique.

Calculer en fonction de n et déterminer .

3°) Soit le produit Pn = v0 . v1vn , exprimer ln(Pn) en fonction de S² n.

Calculer et en déduire

 

Exercice 2 (Spécialité Mathématiques) (4 points)

1°) Déterminer la décomposition en produit de facteurs premiers de 1771 et de

2001, en déduire leur PGCD.

2°) Soit l’équation d’inconnue (x, y) élément de Z2 :

(E) : 1771x – 2001y = 92

  1. En appliquant l’algorithme d’Euclide aux nombres 77 et 87, déterminer une solution particulière de l’équation (E’) : 77x – 87y = 1.
  2. En déduire une solution particulière de (E) puis résoudre (E).

3°) a) On considère deux suites arithmétiques (un) et (vn) définies par :

u0 = 100, v0 = 8

et pour tout n entier par :

un+1 = un + 2001

et vn+1 = vn + 1771.

Indiquer tous les couples (; q) avec p et q entiers naturels inférieurs à 500 tels que up = vq.

b) Reprendre la question précédente avec u0 = 100 et v0 = 75.

 

Problème (12 points)

Le but du problème est d’étudier la fonction f définie sur ]0 ; +¥ [ par :

f(x) = (x2 + 1 – ln x)

et de construire sa courbe représentative C, ce qui fait l’objet de la partie I, puis de décrire un procédé d’approximation du nombre a pour lequel f atteint son minimum, ce qui fait l’objet de la partie II.

Partie I. Etude de f et construction de C.

1°) Etude d’une fonction auxiliaire.

Soit g la fonction numérique définie sur ]0 ; +¥ [ par :

g(x) = x2 + ln x – 2.

  1. Etudier le sens de variation de g et ses limites en 0 et en +¥ .
  2. (On ne demande pas la représentation graphique de g.)

  3. En déduire que l’équation g(x) = 0 admet une solution a et une seule et que :1,30 £ a £ 1,35
  4. Etudier le signe de g(x).

2°) Etude de f.

  1. Etudier les limites de f en 0 et en +¥ .
  2. Exprimer f’(x) à l’aide de g(x). En déduire le sens de variation de f.

3°) Construction de la courbe C.

Le plan est rapporté au repère orthonormal (O ;).

On choisit pour unité graphique 2 cm.

  1. Montrer que la droite D d’équation y = x est asymptote en +¥ à la courbe C.
  2. Déterminer le point d’intersection B de C et D  ; préciser la position C par rapport à D .
  3. Construire la courbe C et la droite D , en précisant la tangente en B à C.

4°) Calcul d’une aire.

Calculer l’aire A de la portion de plan comprise entre C et D et les droites d’équation x = 1 et x = e.

 Partie II. Approximation de a .

1°) a) Montrer que l’équation g(x) = 0 est équivalente à l’équation h(x) = x, où h est la fonction définie sur I = [1,30 ; 1,35] par :

.

b) Justifier la décroissance de h sur I et montrer que pour tout élément x de I, h(x) appartient à I.

c) Prouver que, pour tout élément x de I :

£ h’(x) £ 0.

d) En déduire que pour tout élément x de I :

|h(x) – a | £ |xa |.

2°) Soit (un) la suite d’éléments de I définie par la relation de récurrence un+1 = h(un) et la condition initiale u0 = 1,30.

a) Montrer que pour tout entier :

| un+1 – a | £ | una |.

b) En déduire que pour tout entier :

| una | £

c) Déterminer la limite de la suite (un).

d) Préciser un entier n0 tel que |a | £ 10-6 et donner la valeur de .

  

 

Pour les élèves " spécialité mathématiques "

Liste des nombres premiers inférieurs ou égaux à 50 :

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.