Devoir Commun n°2
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Mai 2001 1ère S

DEVOIR de Mathématiques (3h)
(Calculatrice autorisée)

 

Exercice 1 (5 points)

Soit ABC un triangle isocèle rectangle en A. On note I le milieu de [BC] et J le milieu de [AC].

Soit p un paramètre réel ; à tout point M du plan on associe le point M’ tel que :

1°) Dans cette question on suppose que p = -1.

  1. Démontrer que le vecteur est un vecteur fixe que l’on déterminera.
  2. En déduire la nature de la transformation du plan qui à tout point M associe le point M’ dans le cas où p = -1.

2°) Dans cette question on suppose que p = 2.

  1. Construire le point K barycentre des points pondérés (A ;2) et (B ;-1)
  2. Construire le point G barycentre des points pondérés (A ;2), (B ;-1) et (C ;2)
  3. Démontrer que G appartient à la droite (BJ).
  4. Exprimer le vecteur en fonction du vecteur .
  5. En déduire la nature de la transformation du plan qui à tout point M associe le point M’ dans le cas où p = 2.

3°) Le point M décrit le cercle de diamètre [BC]

a) Quel est l’ensemble (E1) des points M’ dans le cas où p = -1 ? Le construire.

b) Quel est l’ensemble (E2) des points M’ dans le cas où p = 2 ? Le construire.

 

Exercice 2 (4 points)

Soit a un réel vérifiant : sin a = et 0 £ a £

1°) Calculer cos 2a puis cos 4a.

2°) Démontrer que a est solution de l’équation : cos 4x = sin x. (1)

3°) Résoudre dans [0 ; 2p [ l’équation (1).

4°) En déduire la valeur exacte de a.

 

Problème (11 points)

Soit f la fonction définie sur R par :

et Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O ;), unité graphique : 1 cm.

1°) Déterminer les limites de f en -¥ et en +¥ .

2°) a) Démontrer que la droite D d’équation y = –x + 1 est asymptote à Cf.

b) Etudier la position relative de Cf et de D.

3°) a) Démontrer que la fonction dérivée de f est définie sur R par :

b) Factoriser le polynôme g(x) = –x4 – 13x2 + 14. En déduire le signe de f’(x) et les variations de f.

c) Dresser le tableau de variation complet de f.

4°) Démontrer que le point I(0 ;1) est un centre de symétrie pour la courbe Cf.

5°) a) Déterminer une équation de la tangente T à la courbe au point I.

b) Déterminer les coordonnées des points de la courbe Cf où la tangente en ces points est parallèle à la droite D.

6°) Construire la courbe Cf et les droites D et T.

7°) Discuter graphiquement, suivant les valeurs de m (m paramètre réel), le nombre de solutions de l’équation f(x) = m.