Devoir Commun n°1
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Janvier 2000 1ère S

 

DEVOIR de Mathématiques (3h)
(Calculatrice autorisée)

 

Exercice 1 (7 points)

1°) a) Résoudre dans R l’équation : x3 – 13x + 12 = 0

b) Résoudre dans R l’inéquation :

2°) Soit f la fonction définie sur R par :

et Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O ;), unité graphique : 1 cm.

  1. Déterminer la nature de Cf et les coordonnées de son sommet S.
  2. Construire Cf .

3°) Soit g la fonction définie sur R\{2} par : et Cg sa courbe représentative.

  1. Déterminer deux réels a et b tels que pour tout x ¹ 2, on a :
  2. En déduire que Cg est l’image de l’hyperbole (H) d’équation : par une translation que l’on précisera.
  3. Tracer Cg dans le même repère que Cf.

4°) En utilisant les résultats du 1°)

  1. Déterminer par le calcul les coordonnées des points d’intersection de Cf et de Cg.
  2. Etudier le signe de f(x) – g(x) et en déduire la position relative de Cf par rapport à Cg suivant les valeurs de x.

 

Exercice 2 (2 points)

Un automobiliste parcourt 240 km, la moitié de la distance sur route, l’autre moitié sur autoroute. Il effectue le voyage en 2h30.

S’il avait parcouru les 240 km en roulant la moitié du temps sur route et la moitié du temps sur autoroute, il aurait roulé 6 minutes de moins.

Déterminer sa vitesse moyenne sur route et sur autoroute.

On rappelle que si l’on note v sa vitesse en km.h-1 , t le temps de conduite en h et d la distance parcourue en km, on a : .

 

Exercice 3 (5 points)

Dans un repère orthonormal (O ;) (unité graphique : 1 cm), on note A le point de coordonnées A(2 ; 5) et (C) la courbe d’équation : x2 + y2 – 2x + 4y – 20 = 0.

Le but de l’exercice est de construire les tangentes à (C) passant par A.

1°) Démontrer que (C) est un cercle dont on déterminera les coordonnées du centre W et le rayon R.

(Faire une figure que l’on complétera dans la suite de l’exercice)

2°) Justifier que le point A se trouve à l’extérieur du cercle (C).

3°) Soit (C’) le cercle de diamètre [AW ] où W (1 ; -2).

  1. Déterminer une équation cartésienne du cercle (C’).
  2. Vérifier que le point I(5 ; 1) appartient aux deux cercle (C) et (C’).
  3. Déterminer une équation de la droite (AI).
  4. Démontrer que la droite (AI) est tangente au cercle (C).

4°) a) Déterminer, par le calcul, les coordonnées du deuxième point J d’intersection des cercles (C) et (C’).

b) Que peut-on dire de (AJ) par rapport à (C) ? Le justifier.

 

Exercice 4 (6 points)

Soit ABC un triangle équilatéral de côté a. On note I le milieu de [AB] et J le milieu de [BC].

1°) a) Construire, en justifiant, le barycentre K des points (A ; -1) et (B ; 3).

b) Comparer les vecteurs et .

2°) Calculer, en fonction de a, les produits scalaires suivants :

, , et .

3°) Déterminer et construire l’ensemble (E1) des points M du plan tels que : .

4°) Déterminer et construire l’ensemble (E2) des points M du plan tels que : = a2.

5°) a) Démontrer que pour tout point M du plan, on a : MB2 + MC2 = 2MJ2 + BC2.

b) Déterminer et construire l’ensemble (E3) des points M du plan tels que : MB2 + MC2 = 2a2.

c) Démontrer que le point K est commun à (E2) et à (E3).